Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 31
Рассмотрим второй случай. Первый рассматривается аналогично,
причем рассуждения оказываются более простыми. Будем считать,
что определитель
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
не равен нулю, что не снижает общности рассуждений, так как это-
го всегда можно добиться, переставляя строки и столбцы и не меняя
при этом величины определителя A, так как такие перестановки мо-
гут изменить лишь знак определителя, а он, как мы полагаем, равен
нулю.
Воспользовавшись формулой (2.9), отсюда получим, что
a
13
= c
1
a
23
+ c
2
a
33
,
где
c
1
=
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
, c
2
= −
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
.
Далее, определитель
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
12
a
21
a
22
a
22
a
31
a
32
a
32
¯
¯
¯
¯
¯
¯
равен нулю, так как у него два последних столбца совпадают. Запи-
сывая этот определитель по формуле (2.9), получим как и раньше,
что
a
12
= c
1
a
22
+ c
2
a
32
.
Наконец, рассматривая нулевой определитель
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
11
a
21
a
22
a
21
a
31
a
32
a
31
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
будем иметь, что
a
11
= c
1
a
21
+ c
2
a
31
.
Таким образом, первая строка определителя — линейная комбинация
второй и третьей строк.
9) Получим так называемую формулу разложения определителя
по строке. Используя свойство 4), запишем следующие равенства:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
0 0
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 a
12
0
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 0 a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
§ 1. Определители второго и третьего порядков                        31


   Рассмотрим второй случай. Первый рассматривается аналогично,
причем рассуждения оказываются более простыми. Будем считать,
что определитель          ¯         ¯
                          ¯ a21 a22 ¯
                          ¯         ¯
                          ¯ a31 a32 ¯
не равен нулю, что не снижает общности рассуждений, так как это-
го всегда можно добиться, переставляя строки и столбцы и не меняя
при этом величины определителя A, так как такие перестановки мо-
гут изменить лишь знак определителя, а он, как мы полагаем, равен
нулю.
    Воспользовавшись формулой (2.9), отсюда получим, что
                           a13 = c1 a23 + c2 a33 ,
где                  ¯            ¯            ¯         ¯
                     ¯ a11 a12 ¯               ¯ a11 a12 ¯
                     ¯            ¯            ¯         ¯
                     ¯ a31 a32 ¯               ¯ a21 a22 ¯
               c1 = ¯¯            ¯ , c2 = − ¯
                                  ¯
                                                         ¯
                                               ¯ a21 a22 ¯ .
                     ¯ a 21  a 22 ¯            ¯         ¯
                     ¯ a31 a32 ¯               ¯ a31 a32 ¯
Далее, определитель          ¯                ¯
                             ¯ a11 a12 a12 ¯
                             ¯                ¯
                             ¯ a21 a22 a22 ¯
                             ¯                ¯
                             ¯ a31 a32 a32 ¯
равен нулю, так как у него два последних столбца совпадают. Запи-
сывая этот определитель по формуле (2.9), получим как и раньше,
что
                        a12 = c1 a22 + c2 a32 .
Наконец, рассматривая нулевой определитель
                         ¯                ¯
                         ¯ a11 a12 a11 ¯
                         ¯                ¯
                         ¯ a21 a22 a21 ¯ ,
                         ¯                ¯
                         ¯ a31 a32 a31 ¯
будем иметь, что
                         a11 = c1 a21 + c2 a31 .
Таким образом, первая строка определителя — линейная комбинация
второй и третьей строк.
    9) Получим так называемую формулу разложения определителя
по строке. Используя свойство 4), запишем следующие равенства:
¯             ¯ ¯               ¯ ¯               ¯ ¯               ¯
¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a11 0 0 ¯ ¯ 0 a12 0 ¯ ¯ 0 0 a13 ¯
¯             ¯ ¯               ¯ ¯               ¯ ¯               ¯
¯ a21 a22 a23 ¯ = ¯ a21 a22 a23 ¯ + ¯ a21 a22 a23 ¯ + ¯ a21 a22 a23 ¯ =
¯             ¯ ¯               ¯ ¯               ¯ ¯               ¯
¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯

Страницы