Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 29
Используя свойство 4), левую часть этого равенства можно записать
в виде суммы четырех слагаемых:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Вследствие свойства 5) первое и последнее слагаемые этой суммы
равны нулю, поэтому
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
т. е. равенство (3.6) справедливо.
4. Переставляя столбцы определителей, (2.11), (2.12) можно за-
писать в виде
x
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
b
1
a
13
a
21
b
2
a
23
a
31
b
3
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, x
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
1
a
12
a
13
b
2
a
22
a
23
b
3
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (4.1)
Теперь формулам, дающим решение системы (2.1)–(2.3), можно
придать компактный вид
x
i
=
∆
i
∆
, i = 1, 2, 3, (4.2)
где ∆ = |A|, а ∆
i
получается из |A| заменой i-того столбца столбцом
правой части системы (2.1)–(2.3). Формулы (4.2) называют формула-
ми Крамера.
7) Определитель не изменится, если к некоторой его строке доба-
вить другую, умноженную на произвольное число. Опять проведем
§ 1. Определители второго и третьего порядков                        29


Используя свойство 4), левую часть этого равенства можно записать
в виде суммы четырех слагаемых:
                    ¯                               ¯
                    ¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23 ¯
                    ¯                               ¯
                    ¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23 ¯ =
                    ¯                               ¯
                    ¯    a31       a32        a33   ¯
¯                                 ¯ ¯                               ¯
¯    a11        a12          a13  ¯    ¯  a21        a22     a23    ¯
¯                                 ¯ ¯                               ¯
¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23 ¯ + ¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23 ¯ =
¯                                 ¯ ¯                               ¯
¯    a31        a32          a33  ¯ ¯     a31        a32     a33    ¯
¯              ¯ ¯                 ¯ ¯                ¯ ¯             ¯
¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯
¯              ¯ ¯                 ¯ ¯                ¯ ¯             ¯
¯ a11 a12 a13 ¯ + ¯ a21 a22 a23 ¯ + ¯ a11 a12 a13 ¯ + ¯ a21 a22 a23 ¯ .
¯              ¯ ¯                 ¯ ¯                ¯ ¯             ¯
¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯
Вследствие свойства 5) первое и последнее слагаемые этой суммы
равны нулю, поэтому
              ¯             ¯ ¯               ¯
              ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯
              ¯             ¯ ¯               ¯
              ¯ a21 a22 a23 ¯ + ¯ a11 a12 a13 ¯ = 0,
              ¯             ¯ ¯               ¯
              ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯

т. е. равенство (3.6) справедливо.
   4. Переставляя столбцы определителей, (2.11), (2.12) можно за-
писать в виде
                 ¯                ¯        ¯             ¯
                 ¯ a11 b1 a13 ¯            ¯ b1 a12 a13 ¯
                 ¯                ¯        ¯             ¯
                 ¯ a21 b2 a23 ¯            ¯ b2 a22 a23 ¯
                 ¯                ¯        ¯             ¯
                 ¯ a31 b3 a33 ¯            ¯ b3 a32 a33 ¯
           x2 = ¯¯                ¯ , x1 = ¯
                                  ¯
                                                         ¯
                                           ¯ a11 a12 a13 ¯ . (4.1)
                 ¯ a 11 a 12 a 13 ¯        ¯             ¯
                 ¯ a21 a22 a23 ¯           ¯ a21 a22 a23 ¯
                 ¯                ¯        ¯             ¯
                 ¯ a31 a32 a33 ¯           ¯ a31 a32 a33 ¯

   Теперь формулам, дающим решение системы (2.1)–(2.3), можно
придать компактный вид
                                  ∆i
                           xi =      , i = 1, 2, 3,               (4.2)
                                  ∆
где ∆ = |A|, а ∆i получается из |A| заменой i-того столбца столбцом
правой части системы (2.1)–(2.3). Формулы (4.2) называют формула-
ми Крамера.
    7) Определитель не изменится, если к некоторой его строке доба-
вить другую, умноженную на произвольное число. Опять проведем

Страницы