Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 36 стр.

§ 2. Векторная алгебра                                                             35




       Рис. 2. Декартовы координаты точки x = (x1 , x2 , x3 ) (a). Вектор x (b).


    Точки пространства будем обозначать малыми латинскими бук-
вами: x, y, z, . . . . Будут использоваться и обозначения с явным ука-
занием координат, например x = (x1 , x2 , x3 ). Иногда нам придется
нумеровать различные точки пространства. В этом случае номер (ин-
декс) будем писать сверху, например, x1 = (x11 , x12 , x13 ).
    Как обычно, направленные отрезки будем называть векторами.
На рисунках (при необходимости) направление вектора будем указы-
вать стрелкой. Векторы, имеющие равные длины и одинаковые на-
правления, считаются равными (см. рис. 3, a). С каждой точкой x
пространства взаимнооднозначно связан вектор, соединяющий ее с
началом координат (см. рис. 2, b). Концом этого вектора считается
точка x.
    Вектор, соответствующий точке 0, будем называть нулевым.
    Векторы будем обозначать теми же символами, что и соответству-
ющие им точки пространства.
    Координаты точки x будем называть декартовыми координата-
ми вектора x. Геометрический смысл декартовых координат вектора
очевиден. Это — длины проекций вектора (с учетом знака) на соот-
ветствующие оси координат.
    Длину вектора x часто называют модулем и обозначают через |x|.
Лишь один вектор имеет нулевую длину. Это — вектор 0. Из теоремы
Пифагора сразу же вытекает, что для любого вектора x
                                 q
                            |x| = x21 + x22 + x23 .

    2. Определим теперь так называемые алгебраические операции
над векторами. Будем опираться при этом на знакомые из школьного
курса физики правила действия с силами.
    1) Умножение вектора на число. Пусть заданы вещественное чис-
ло α и вектор x. Вектор y называется произведением α и x (пишется