Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Иначе говоря, из трех чисел, можно составить шесть различных пе-
рестановок.
В дальнейшем будет удобно записывать перестановки в ви-
де n
1
n
2
n
3
, подразумевая под n
i
одно из чисел 1, 2, 3. Причем, конечно,
все числа n
1
, n
2
, n
3
считаются различными.
Рассмотрим некоторую конкретную перестановку n
1
n
2
n
3
и соста-
вим все пары чисел n
i
n
j
, где i < j. Понятно, что таких пар всего
три: n
1
n
2
, n
1
n
3
и n
2
n
3
. Говорят, что пара чисел n
i
n
j
, где i < j образу-
ет инверсию, если n
i
> n
j
. Каждой перестановке соответствует опре-
деленное количество инверсий, а именно, 0, 1, 2, или 3. Количество
инверсий в перестановке n
1
n
2
n
3
будем обозначать через σ(n
1
, n
2
, n
3
).
Перестановку n
1
n
2
n
3
будем называть четной, если ей соответ-
ствует четное количество инверсий (нуль считается четным числом).
В противном случае перестановка называется нечетной.
Нетрудно убедиться, что первые три из перестановок (3.2) четные,
а остальные нечетные.
Каждое слагаемое в выражении определителя (3.1) имеет вид
±a
1n
1
a
2n
2
a
3n
3
,
причем знак плюс ставится в том случае, когда перестановка n
1
n
2
n
3
четная. В противном случае ставится знак минус. Равенство (3.1) с
использованием введенных обозначений можно записать в виде
|A| =
X
n
1
n
2
n
3
(−1)
σ(n
1
n
2
n
3
)
a
1n
1
a
2n
2
a
3n
3
, (3.3)
где символ
P
n
1
n
2
n
3
означает суммирование, которое распространяется
на всевозможные перестановки n
1
n
2
n
3
.
Рис. 1. Правило расстановки знаков в определителе третьего порядка
Для запоминания способа расстановки знаков в (3.1) полезно ис-
пользовать схему, представленную на рисунке 1. Пример:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
4 5 6
7 8 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 4 · 2 · 9 − 1 · 8 · 6 =
26                                      Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


Иначе говоря, из трех чисел, можно составить шесть различных пе-
рестановок.
    В дальнейшем будет удобно записывать перестановки в ви-
де n1 n2 n3 , подразумевая под ni одно из чисел 1, 2, 3. Причем, конечно,
все числа n1 , n2 , n3 считаются различными.
    Рассмотрим некоторую конкретную перестановку n1 n2 n3 и соста-
вим все пары чисел ni nj , где i < j. Понятно, что таких пар всего
три: n1 n2 , n1 n3 и n2 n3 . Говорят, что пара чисел ni nj , где i < j образу-
ет инверсию, если ni > nj . Каждой перестановке соответствует опре-
деленное количество инверсий, а именно, 0, 1, 2, или 3. Количество
инверсий в перестановке n1 n2 n3 будем обозначать через σ(n1 , n2 , n3 ).
    Перестановку n1 n2 n3 будем называть четной, если ей соответ-
ствует четное количество инверсий (нуль считается четным числом).
В противном случае перестановка называется нечетной.
    Нетрудно убедиться, что первые три из перестановок (3.2) четные,
а остальные нечетные.
    Каждое слагаемое в выражении определителя (3.1) имеет вид
                                    ±a1n1 a2n2 a3n3 ,
причем знак плюс ставится в том случае, когда перестановка n 1 n2 n3
четная. В противном случае ставится знак минус. Равенство (3.1) с
использованием введенных обозначений можно записать в виде
                      X
                |A| =     (−1)σ(n1 n2 n3 ) a1n1 a2n2 a3n3 ,   (3.3)
                             n1 n2 n3
                P
где символ               означает суммирование, которое распространяется
              n1 n2 n3
на всевозможные перестановки n1 n2 n3 .




        Рис. 1. Правило расстановки знаков в определителе третьего порядка


    Для запоминания способа расстановки знаков в (3.1) полезно ис-
пользовать схему, представленную на рисунке 1. Пример:
 ¯      ¯
 ¯1 2 3 ¯
 ¯      ¯
 ¯4 5 6 ¯ = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 4 · 2 · 9 − 1 · 8 · 6 =
 ¯      ¯
 ¯7 8 9 ¯

Страницы