Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
многочлен P
n
делится на многочлен Q
m
(иногда говорят, что делит-
ся нацело).
Замечание. Из формул, полученных в ходе доказательства тео-
ремы, очевидно, следует, что если P
n
, Q
m
являются многочленами
с действительными коэффициентами, то коэффициенты многочле-
нов q
n−m
, r
m−1
— действительные числа.
Пример. В качестве примера применения схемы Горнера разделим
P
4
(z) = 2z
4
− 3z
3
+ 4z
2
− 5z + 6 на Q
2
(z) = z
2
− 3z + 1,
т. е. найдем такие многочлены
q
2
(z) = c
2
z
2
+ c
1
z + c
0
и r
1
(z) = d
1
z + d
0
,
что выполняется равенство
P
4
(z) = Q
2
(z)q
2
(z) + r
1
(z).
В нашем примере n = 4, а m = 2. Сначала по формулам (2.2) вычислим коэффициен-
ты c
2
, c
1
и c
0
:
c
2
= a
4
= 2,
c
1
= a
3
− c
2
b
1
= −3 − 2(−3) = 3,
c
0
= a
2
− c
1
b
1
− c
2
b
0
= 4 − 3(−3) − 2 · 1 = 11.
Затем по формулам (2.3) найдем коэффициенты d
1
и d
0
:
d
1
= a
1
− c
0
b
1
− c
1
b
0
= −5 − 11(−3) − 3 · 1 = 25,
d
0
= a
0
− c
0
b
0
= 6 − 11 · 1 = −5.
Таким образом,
q
2
(z) = 2z
2
+ 3z + 11, r
1
(z) = 25z −5.
3. Корнем многочлена (полинома) P
n
(z) называется число α та-
кое, что
P
n
(α) = 0.
3.1. Теорема (Безу). Пусть n > 1, α — произвольное ком-
плексное число. Тогда многочлен P
n
(z) − P
n
(α) делится на z − α.
Доказательство. По теореме о делении многочленов
P
n
(z) − P
n
(α) = q
n−1
(z)(z − α) + r,
где r — число (многочлен нулевой степени). Полагая в этом равен-
стве z = α, получим, что r = 0, т. е.
P
n
(z) − P
n
(α) = q
n−1
(z)(z − α). ¤
Из теоремы Безу очевидным образом вытекает
16                                          Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


многочлен Pn делится на многочлен Qm (иногда говорят, что делит-
ся нацело).
   Замечание. Из формул, полученных в ходе доказательства тео-
ремы, очевидно, следует, что если Pn , Qm являются многочленами
с действительными коэффициентами, то коэффициенты многочле-
нов qn−m , rm−1 — действительные числа.
     Пример. В качестве примера применения схемы Горнера разделим

             P4 (z) = 2z 4 − 3z 3 + 4z 2 − 5z + 6 на Q2 (z) = z 2 − 3z + 1,

т. е. найдем такие многочлены

                    q2 (z) = c2 z 2 + c1 z + c0   и r1 (z) = d1 z + d0 ,

что выполняется равенство

                              P4 (z) = Q2 (z)q2 (z) + r1 (z).

В нашем примере n = 4, а m = 2. Сначала по формулам (2.2) вычислим коэффициен-
ты c2 , c1 и c0 :
                  c2 = a4 = 2,
                  c1 = a3 − c2 b1 = −3 − 2(−3) = 3,
                  c0 = a2 − c1 b1 − c2 b0 = 4 − 3(−3) − 2 · 1 = 11.
Затем по формулам (2.3) найдем коэффициенты d1 и d0 :

                  d1 = a1 − c0 b1 − c1 b0 = −5 − 11(−3) − 3 · 1 = 25,
                  d0 = a0 − c0 b0 = 6 − 11 · 1 = −5.

Таким образом,
                       q2 (z) = 2z 2 + 3z + 11,     r1 (z) = 25z − 5.



    3. Корнем многочлена (полинома) Pn (z) называется число α та-
кое, что
                          Pn (α) = 0.

   3.1. Теорема (Безу). Пусть n > 1, α — произвольное ком-
плексное число. Тогда многочлен Pn (z) − Pn (α) делится на z − α.
     Доказательство. По теореме о делении многочленов
                    Pn (z) − Pn (α) = qn−1 (z)(z − α) + r,
где r — число (многочлен нулевой степени). Полагая в этом равен-
стве z = α, получим, что r = 0, т. е.
                    Pn (z) − Pn (α) = qn−1 (z)(z − α). ¤
     Из теоремы Безу очевидным образом вытекает

Страницы