Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
т. е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы
вычитаются.
Разделим, например, комплексное число
z
1
= 3
³
cos
π
2
+ i sin
π
2
´
на z
2
= 2
³
cos
π
4
+ i sin
π
4
´
.
По формуле (7.3) имеем
z
1
z
2
=
3
2
³
cos
π
4
+ i sin
π
4
´
.
Получим формулу для вычисления степеней комплексного числа.
Используя (7.1), непосредственно получаем, что
z
2
= zz = ρ
2
(cos 2ϕ + i sin 2ϕ),
и, вообще, для любого целого числа n (включая нуль и отрицательные
целые числа)
z
n
= ρ
n
(cos nϕ + i sin nϕ). (7.4)
Формулу (7.4) называют формулой Муавра.
Возведем, например, комплексное число
z = 3
³
cos
π
4
+ i sin
π
4
´
в третью степень:
z
3
= ρ
3
(cos 3ϕ + i sin 3ϕ) = 27
µ
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
8. Обратимся к задаче извлечения корня степени n, n > 1 —
целое, из комплексного числа z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), т. е. к отысканию
такого числа ˜z = ˜ρ(cos ˜ϕ + i sin ˜ϕ), что
˜z
n
= ˜ρ
n
(cos n ˜ϕ + i sin n ˜ϕ) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). (8.1)
Понятно, что поставленная задача будет решена, если положить
˜ρ =
n
√
ρ, n ˜ϕ = ϕ + 2πk, k = 0, 1, . . . ,
где под корнем из ρ понимается арифметическое значение корня из
неотрицательного числа. Таким образом, показано, что числа вида
z
k
=
n
√
ρ (cos ϕ
k
+ i sin ϕ
k
) , ϕ
k
= ϕ/n + 2πk/n, k = 0, 1, . . . , n −1,
(8.2)
являются корнями степени n из числа z. Придавая k значения, боль-
шие, чем n − 1, в силу периодичности тригонометрических функций
мы будем повторять циклически уже найденные значения корней.
12                                       Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


т. е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы
вычитаются.
     Разделим, например, комплексное число
                      ³   π        π´           ³   π        π´
                z1 = 3 cos + i sin     на z2 = 2 cos + i sin    .
                          2        2                4        4
По формуле (7.3) имеем
                                z1   3³    π        π´
                                   =    cos + i sin    .
                                z2   2     4        4

   Получим формулу для вычисления степеней комплексного числа.
Используя (7.1), непосредственно получаем, что
                         z 2 = zz = ρ2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ),
и, вообще, для любого целого числа n (включая нуль и отрицательные
целые числа)
                     z n = ρn (cos nϕ + i sin nϕ).            (7.4)
Формулу (7.4) называют формулой Муавра.
     Возведем, например, комплексное число
                                      ³    π       π´
                               z = 3 cos + i sin
                                           4       4
в третью степень:
                                                µ                  ¶
                   3   3                             3π         3π
                  z = ρ (cos 3ϕ + i sin 3ϕ) = 27 cos    + i sin      .
                                                      4          4

   8. Обратимся к задаче извлечения корня степени n, n > 1 —
целое, из комплексного числа z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), т. е. к отысканию
такого числа z̃ = ρ̃(cos ϕ̃ + i sin ϕ̃), что
               z̃ n = ρ̃n (cos nϕ̃ + i sin nϕ̃) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).     (8.1)
     Понятно, что поставленная задача будет решена, если положить
                    √
               ρ̃ = n ρ, nϕ̃ = ϕ + 2πk, k = 0, 1, . . . ,
где под корнем из ρ понимается арифметическое значение корня из
неотрицательного числа. Таким образом, показано, что числа вида
     √
zk = n ρ (cos ϕk + i sin ϕk ) , ϕk = ϕ/n + 2πk/n, k = 0, 1, . . . , n − 1,
                                                                     (8.2)
являются корнями степени n из числа z. Придавая k значения, боль-
шие, чем n − 1, в силу периодичности тригонометрических функций
мы будем повторять циклически уже найденные значения корней.

Страницы