Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
Рис. 2. К тригонометрической форме комплексного числа.
Взаимносопряженные числа симметричны относительно оси x
(сделайте рисунок).
Напомним, что при сложении векторов их одноименные коор-
динаты складываются. Поэтому суммирование чисел z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
соответствует сложению векторов (x
1
, y
1
) и (x
2
, y
2
)
(сделайте рисунок).
Неравенства (4.3), (4.4) можно интерпретировать теперь как хо-
рошо известные неравенства для сторон треугольника (см. рис 1).
6. Каждое комплексное число (кроме нуля) можно однозначно
охарактеризовать двумя параметрами: модулем и углом ϕ, отсчиты-
ваемым от положительного направления оси x против часовой стрел-
ки (см. рис. 2). Угол ϕ меняется в пределах от 0 до 2π и называет-
ся аргументом комплексного числа z. Часто используют обозначе-
ния ϕ = arg z,
ρ = |z|. (6.1)
Получим явное выражение z через |z| и arg z. Имеем
z = |z|
µ
x
|z|
+ i
y
|z|
.
По определению (см. рис. 2)
x
|z|
= cos ϕ,
y
|z|
= sin ϕ, (6.2)
т. е.
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). (6.3)
Соотношения (6.1)–(6.3) дают так называемое тригонометрическое
представление комплексного числа.
7. Тригонометрическая запись комплексных чисел позволяет по-
новому взглянуть на алгебраические операции над ними и получить
ряд полезных формул.
10                                  Глава 1. Комплексные числа. Многочлены




            Рис. 2. К тригонометрической форме комплексного числа.


    Взаимносопряженные числа симметричны относительно оси x
(сделайте рисунок).
    Напомним, что при сложении векторов их одноименные коор-
динаты складываются. Поэтому суммирование чисел z1 = x1 + iy1
и z2 = x2 + iy2 соответствует сложению векторов (x1 , y1 ) и (x2 , y2 )
(сделайте рисунок).
    Неравенства (4.3), (4.4) можно интерпретировать теперь как хо-
рошо известные неравенства для сторон треугольника (см. рис 1).
    6. Каждое комплексное число (кроме нуля) можно однозначно
охарактеризовать двумя параметрами: модулем и углом ϕ, отсчиты-
ваемым от положительного направления оси x против часовой стрел-
ки (см. рис. 2). Угол ϕ меняется в пределах от 0 до 2π и называет-
ся аргументом комплексного числа z. Часто используют обозначе-
ния ϕ = arg z,
                              ρ = |z|.                       (6.1)
     Получим явное выражение z через |z| и arg z. Имеем
                               µ            ¶
                                  x      y
                       z = |z|       +i       .
                                 |z|    |z|
По определению (см. рис. 2)
                         x               y
                            = cos ϕ,        = sin ϕ,                 (6.2)
                        |z|             |z|
т. е.
                          z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).                    (6.3)
Соотношения (6.1)–(6.3) дают так называемое тригонометрическое
представление комплексного числа.
   7. Тригонометрическая запись комплексных чисел позволяет по-
новому взглянуть на алгебраические операции над ними и получить
ряд полезных формул.

Страницы