Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
Теперь естественно положить, что корнями уравнения (1.2) явля-
ются числа
α
1
= p + i
p
q −p
2
, α
2
= p − i
p
q −p
2
. (1.3)
Это числа новой природы. Они имеют вид a + ib, где a и b — ве-
щественные числа. Их называют комплексными числами. В частном,
случае, когда b = 0, считают, что комплексное число a + ib совпадает
с вещественным числом a, а при a = 0 — c мнимым числом ib.
Обычно комплексное число будем обозначать буквой z:
z = x + iy.
Говорят, что x — вещественная часть комплексного числа z, а y —
его мнимая часть. Обозначим x через Re z, а y — через Im z. Таким
образом, можно написать, что
z = Re z + i Im z.
По определению два комплексных числа равны, если совпадают
соответственно их вещественные и мнимые части.
2. Естественно теперь попытаться проверить, что числа α
1
, α
2
,
определенные в (1.3), — корни уравнения (1.2), т. е. при подстановке
их в равенство (1.2) последнее обращается в тождество, но для этого
надо уметь выполнять алгебраические операции над комплексными
числами. Дадим соответствующие определения.
Под суммой комплексных чисел z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
понимается комплексное число z = x+iy, где x = x
1
+x
2
, y = y
1
+y
2
:
Re (z
1
+ z
2
) = Re z
1
+ Re z
2
,
Im (z
1
+ z
2
) = Im z
1
+ Im z
2
.
Разностью комплексных чисел z
1
и z
2
называется число
z = (x
1
− x
2
) + i(y
1
− y
2
).
Ясно, что если z — разность чисел z
1
и z
2
, то для любых комплексных
чисел z
1
и z
2
имеем z
2
+ z = z
1
.
Например, сумма комплексных чисел z
1
= 1 + i2 и z
2
= 3 + i4 равна числу
z = (1 + i2) + (3 + i4) = (1 + 3) + i(2 + 4) = 4 + i6,
а их разность — числу
z = (1 + i2) − (3 + i4) = (1 − 3) + i(2 − 4) = −2 − i2.
6                                        Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


   Теперь естественно положить, что корнями уравнения (1.2) явля-
ются числа
                       p                    p
             α1 = p + i q − p 2 , α2 = p − i q − p 2 .       (1.3)
    Это числа новой природы. Они имеют вид a + ib, где a и b — ве-
щественные числа. Их называют комплексными числами. В частном,
случае, когда b = 0, считают, что комплексное число a + ib совпадает
с вещественным числом a, а при a = 0 — c мнимым числом ib.
    Обычно комплексное число будем обозначать буквой z:
                                    z = x + iy.
Говорят, что x — вещественная часть комплексного числа z, а y —
его мнимая часть. Обозначим x через Re z, а y — через Im z. Таким
образом, можно написать, что
                                z = Re z + i Im z.
    По определению два комплексных числа равны, если совпадают
соответственно их вещественные и мнимые части.
    2. Естественно теперь попытаться проверить, что числа α1 , α2 ,
определенные в (1.3), — корни уравнения (1.2), т. е. при подстановке
их в равенство (1.2) последнее обращается в тождество, но для этого
надо уметь выполнять алгебраические операции над комплексными
числами. Дадим соответствующие определения.
    Под суммой комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2
понимается комплексное число z = x + iy, где x = x1 + x2 , y = y1 + y2 :
                         Re (z1 + z2 ) = Re z1 + Re z2 ,
                         Im (z1 + z2 ) = Im z1 + Im z2 .
    Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется число
                          z = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ).
Ясно, что если z — разность чисел z1 и z2 , то для любых комплексных
чисел z1 и z2 имеем z2 + z = z1 .
    Например, сумма комплексных чисел z1 = 1 + i2 и z2 = 3 + i4 равна числу

                 z = (1 + i2) + (3 + i4) = (1 + 3) + i(2 + 4) = 4 + i6,

а их разность — числу

                z = (1 + i2) − (3 + i4) = (1 − 3) + i(2 − 4) = −2 − i2.

Страницы