Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 120 стр.

120                                                     Задачи и упражнения


характеристических значений и собственных векторов конечномер-
ных нелинейных спектральных задач методом обратных итераций с
невязкой проводились с точностью 10−9 . Результаты вычислений для
волновода квадратного поперечного сечения, изображенные на ри-
сунках 1, 2, 5 и 6 получены при m = 20 и M = 201. Отметим также,
что результаты вычислений для волновода кругового поперечного се-
чения, изображенные на рисунках 2, 3 и 4, получены при M = 3, а
дальнейшее увеличение M не повлияло на точность вычислений.

                         Задачи и упражнения

    1. Разработайте алгоритм численного решения задач (2.62), (2.63)
и (2.62), (2.64), стр. 68, о E и H-поляризованных собственных вол-
нах металлического волновода произвольного поперечного сечения,
основанный на дискретизации интегральных операторов, построен-
ных в ходе решения задачи 2, стр. 67, методом Галеркина. В качестве
базисных используйте тригонометрические функции.
    Напишите компьютерную программу, реализующую разработан-
ный алгоритм. Постройте дисперсионные кривые аналогичные, изоб-
раженным на рисунке 2, стр. 34, для волноводов кругового и квадрат-
ного поперечного сечения. Сравните приближенные решения с точны-
ми, полученными в ходе решения задач 4 и 5, стр. 38. Исследуйте ско-
рость сходимости разработанного алгоритма в зависимости от числа
базисных функций.
    2. Проверьте справедливость следующих формул:
                   Z2π               µ ¯         ¯¶
                               (1)        ¯ t − s¯
                         eims H0      2z ¯¯sin   ¯ ds =              (5.23)
                                               2 ¯
                   0

                = 2πeimt Jm (z)Hm   (1)
                                        (z), m = 0, ±1, . . .
             Z2π       ¯          ¯      µ ¯             ¯¶
                       ¯    t − s ¯  (1)      ¯    t − s ¯
                 eims ¯¯sin       ¯H
                                  ¯        2z ¯sin
                                              ¯
                                                         ¯ ds =      (5.24)
                              2      1
                                                     2 ¯
             0

                   imt   d ³          (1)
                                             ´
           = −2πe            Jm (z)Hm (z) , m = 0, ±1, . . .
                        dz
             Z2π                       µ ¯               ¯¶
                     sin  (t − s)  (1)        ¯    t − s ¯
                 eims ¯¯ t−s ¯¯ H1        2z ¯¯sin       ¯ ds =
                                                         ¯           (5.25)
                        sin 2                        2
             0