Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 118 стр.

118                                            Глава 5. Численные методы

                           √
такими же, как в [11]: n+ = 2, n∞ = 1, kR = 4. В этом случае урав-
нения (1.88) имеют корни β ∈ (kn∞ , kn+ ) лишь при l = 0, 1, 2. Всего
таких корней пять. Результаты вычислений (h = β/k) представлены
в следующей таблице:
      l 0          0          1          1          2
        1.200026   1.164818   1.020626   1.320590   1.167256
      h 1.200026   1.164819   1.020628   1.320590   1.167256
        1.1995     1.1643     1.0216     1.3202     1.1870
    В первой строке таблицы помещены номера l уравнений (1.88), во
второй — корни этих уравнений, в третьей — решения, полученные
с помощью метода Галеркина (5.19), в четвертой — результаты ра-
боты [11]. Результаты наших вычислений, представленные в таблице,
получены при использовании пяти базисных функций в методе Галер-
кина (5.19). Дальнейшее увеличение их числа не привело к изменению
точности вычислений. Отметим, что в [11] вычисления фактически
сводились к поиску характеристических значений задачи вида (5.21)
с матрицей размерности равной 64, в наших расчетах матрица име-
ет размерность равную 20. В [21] точность аналогичных вычислений
составила 0,1 процента.
    Решение задачи (2.29) – (2.32) для волновода квадратного сечения
было основано на аппроксимации контура Γ кривой (см., напр., [38]):
              õ       ¶2m µ        ¶2m !−1/2m
                 cos t        sin t
       r(t) =             +                    , t ∈ [0, 2π].  (5.22)
                   a            a

При m = 1 эта кривая представляет собой окружность радиуса a, а
при m → ∞ она стремится к квадрату со стороной 2a.
    Результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данны-
ми из работы [14]. Как и в [14], были получены дисперсионные кри-
вые, показывающие зависимость
                          √       величины h = β/k от p = ka/π
при фиксированных n+ = 2.08, n∞ = 1. Результаты расчетов пред-
ставлены на рисунке 1, с. 122, сплошной линией. Квадратиками на
рисунке 1 обозначены экспериментальные данные из работы [14].
    Разыскивались также собственные векторы задачи (2.29) – (2.32),
                                                      (1)
отвечающие комплексным собственным значениям β ∈ C0 . Для вол-
новода кругового поперечного сечения радиуса R результаты срав-
нивались с результатами, полученными в статье [40]. В этой работе
применялся итерационный метод, предложенный в [41], суть которого