Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 117 стр.

§ 3. Численные эксперименты                                        117


функциями параметра β на римановой поверхности Λ. Следователь-
но, предположение теоремы 5.28 о гладкости элементов матрицы A(β)
выполняется.
    В теореме 5.28 доказана сходимость метода в случае поиска соб-
ственного вектора, отвечающего простому изолированному характе-
ристическому значению β задачи (5.21). Однако, метод обратных ите-
раций с невязкой можно применять и для поиска собственных векто-
ров отвечающих характеристическим значениям β кратности равной
двум. Такая ситуация возникает, когда одному значению постоянной
распространения β соответствуют две собственные волны. Это спра-
ведливо, например, для основных волн волноводов кругового и квад-
ратного поперечного сечений. Хотя в этих случаях теорема 5.28 и не
гарантирует сходимости, наблюдается устойчивая сходимость мето-
да. При этом на первом шаге алгоритма следует выбирать два орто-
гональных друг другу начальных приближения.
    2. Результаты вычислений. Приведем результаты численно-
го решения ряда конкретных спектральных задач теории диэлектри-
ческих волноводов, подтверждающие практическую эффективность
предлагаемых методов.
    Задача (2.29) – (2.32), с. 55 решалась для волноводов кругового и
квадратного сечений, то есть для таких волноводов, для которых либо
известны точные решения, либо имеются экспериментальные данные,
а также результаты вычислений, полученные другими методами.
    Ранее метод интегральных уравнений для численного решения за-
дачи (2.29) – (2.32) применялся в работах [11] и [21] в частном случае
поиска поверхностных собственных волн, амплитуды которых экспо-
ненциально затухают на бесконечности, а постоянные распростране-
ния β лежат в интервале (kn∞ , kn+ ). Для аппроксимации построен-
ных с помощью формулы Грина систем интегродифференциальных
уравнений с логарифмической особенностью ядер в [11], [21] приме-
нялся метод механических квадратур. При вычислении несобствен-
ных интегралов в [21] особенности ядер выделялись аналитически, а
в [11] — численно, путем сгущения сетки. В качестве тестового при-
мера в [11], [21] решалась задача о поиске постоянных распростране-
ния поверхностных собственных волн волновода кругового сечения.
В этом случае точные значения постоянных распространения β опре-
деляются как корни характеристических уравнений (1.88), с. 33.
    В наших расчетах значения параметров задачи были выбраны