Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Численные эксперименты 115
Система уравнений метода Галеркина (5.19) эквивалентна линей-
ному операторному уравнению
A
n
(β)w
n
≡ p
n
A(β)w
n
≡ (I + p
n
B(β))w
n
≡ (I + B
n
(β))w
n
= 0. (5.20)
Здесь A
n
: H
n
→ H
n
, I — единичный оператор в пространстве H
n
.
Обозначим σ(A
n
) множество сингулярных точек оператора A
n
(β).
Приближенные значения β
n
постоянных распространения β будем ис-
кать как сингулярные точки оператора A
n
(β). Относительно сходи-
мости описанного метода, справедлива следующая теорема, доказа-
тельство которой аналогично доказательству теоремы 5.26.
Теорема 5.27. Если β
0
∈ σ(A), то существует такая после-
довательность чисел {β
n
}
n∈N
, β
n
∈ σ(A
n
), что β
n
→ β
0
, n ∈ N.
Если {β
n
}
n∈N
— некоторая последовательность точек из Λ, такая,
что β
n
∈ σ(A
n
), β
n
→ β
0
∈ Λ, то β
0
∈ σ(A). Пусть {β
n
}
n∈N
—
некоторая последовательность точек из Λ и {w
n
}
n∈N
— некото-
рая последовательность нормированных векторов, kw
n
k = 1, та-
кие, что β
n
∈ σ(A
n
), A
n
(β
n
)w
n
= 0, β
n
→ β
0
∈ Λ, w
n
→ w
0
. То-
гда β
0
∈ σ(A) и A(β
0
)w
0
= 0, kw
0
k = 1.
§ 3. Численные эксперименты
1. Метод обратных итераций с невязкой решения нели-
нейных конечномерных спектральных задач. В предыдущем
параграфе методом Галеркина для численного решения задач (2.2) –
(2.5), с. 42, и (2.29) – (2.32), с. 55, были построены конечно-мерные
нелинейные спектральные задачи вида
A(β)u = 0, (5.21)
где A — матрица, элементы которой являются комплекснозначны-
ми функциями комплексного параметра β, u — собственный вектор
с комплексными компонентами. Для решения этих задач можно ис-
пользовать вариант метода обратных итераций с невязкой, предло-
женный в работе [46]. Приведем алгоритм этого метода, следуя [46].
Пусть известно некоторое приближение σ ∈ Λ (где Λ — область
на комплексной плоскости) к искомому характеристическому значе-
нию β такое, что матрица A(σ) обратима. Обозначим kuk максимум
норму вектора u, e(u) — единичный вектор с единицей в позиции мак-
симального по модулю значения вектора u. Алгоритм приближенного
§ 3. Численные эксперименты                                       115


   Система уравнений метода Галеркина (5.19) эквивалентна линей-
ному операторному уравнению
 An (β)wn ≡ pn A(β)wn ≡ (I + pn B(β))wn ≡ (I + Bn (β))wn = 0. (5.20)
Здесь An : Hn → Hn , I — единичный оператор в пространстве Hn .
   Обозначим σ(An ) множество сингулярных точек оператора An (β).
Приближенные значения βn постоянных распространения β будем ис-
кать как сингулярные точки оператора An (β). Относительно сходи-
мости описанного метода, справедлива следующая теорема, доказа-
тельство которой аналогично доказательству теоремы 5.26.
    Теорема 5.27. Если β0 ∈ σ(A), то существует такая после-
довательность чисел {βn }n∈N , βn ∈ σ(An ), что βn → β0 , n ∈ N .
Если {βn }n∈N — некоторая последовательность точек из Λ, такая,
что βn ∈ σ(An ), βn → β0 ∈ Λ, то β0 ∈ σ(A). Пусть {βn }n∈N —
некоторая последовательность точек из Λ и {wn }n∈N — некото-
рая последовательность нормированных векторов, kwn k = 1, та-
кие, что βn ∈ σ(An ), An (βn )wn = 0, βn → β0 ∈ Λ, wn → w0 . То-
гда β0 ∈ σ(A) и A(β0 )w0 = 0, kw0 k = 1.

                  § 3. Численные эксперименты

    1. Метод обратных итераций с невязкой решения нели-
нейных конечномерных спектральных задач. В предыдущем
параграфе методом Галеркина для численного решения задач (2.2) –
(2.5), с. 42, и (2.29) – (2.32), с. 55, были построены конечно-мерные
нелинейные спектральные задачи вида
                              A(β)u = 0,                       (5.21)
где A — матрица, элементы которой являются комплекснозначны-
ми функциями комплексного параметра β, u — собственный вектор
с комплексными компонентами. Для решения этих задач можно ис-
пользовать вариант метода обратных итераций с невязкой, предло-
женный в работе [46]. Приведем алгоритм этого метода, следуя [46].
    Пусть известно некоторое приближение σ ∈ Λ (где Λ — область
на комплексной плоскости) к искомому характеристическому значе-
нию β такое, что матрица A(σ) обратима. Обозначим kuk максимум
норму вектора u, e(u) — единичный вектор с единицей в позиции мак-
симального по модулю значения вектора u. Алгоритм приближенного

Страницы