Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 113 стр.

§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах                  113


непрерывный оператор B, как известно, переводит ее в сильно сходя-
щуюся:
                kBwn − uk → 0, n ∈ N 000 , u ∈ H.
Отсюда в силу неравенства

                   kBn wn − pn uk 6 kpn kkBwn − uk

и равенства (5.13) следует, что последовательность {Bn wn }n∈N 000 P -
сходится к u ∈ H. Таким образом, {wn }n∈N 000 P -сходится к векто-
ру w = z − u ∈ H, и условие (5.6) выполнено.
    5. Нормы kAn (β)k ограничены равномерно по n и β на каждом
компакте Λ0 ⊂ Λ. Справедливость этого утверждения непосредствен-
но следует из оценок (5.15) и (5.16).
    6. Множество ρ(A) не пусто, то есть σ(A) 6= Λ. Справедливость
этого утверждения доказано в теореме 2.6, с. 54. ¤
    2. Метод Галеркина решения задачи с ядром Гильберта.
Опишем теперь численный метод решения задачи (2.61), с. 65. При
построении и исследовании численного метода операторное уравнение
(2.61) удобно трактовать как уравнение в гильбертовом пространстве

                        H = L2 × L2 × L2 × L2 .

Уравнение (2.61), по сравнению с уравнением (2.25), помимо инте-
гральных операторов с гладкими ядрами и оператора L с логарифми-
ческой особенностью ядра, содержит оператор S с ядром Гильберта
(2.60). Будем использовать известное выражение (см., напр., [8]) для
оператора S −1 : L2 → L2
                             ∞
                             X
              −1
             S (u; t) = −i          sign(k)ck (u)eikt ,     u ∈ L2 ,   (5.17)
                             k=−∞

где
                                     Z2π
                                 1
                       ck (u) =            u(τ )e−iktτ dτ
                                2π
                                     0
— коэффициенты Фурье функции u. При этом мы полагаем, что
sign(0)=1. Известно также, что

                    S −1 = −S,       kS −1 k = kSk = 1.                (5.18)