Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава 5. Численные методы
Имеет место оценка
kA(β)k 6 c(β), β ∈ Λ, (5.15)
где c(β) — непрерывная в области Λ функция:
c(β) = 1 + 2(c
2
11
(β) + d
2
11
(β))
1/2
+ (c
2
12
(β) + d
2
12
(β))
1/2
+ 2c
21
(β) + c
22
(β).
Здесь
c
2
ij
(β) =
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
|h
(i,j)
(β; t, t
0
)|
2
dtdt
0
, i, j = 1, 2,
d
2
1j
(β) =
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
|
d
dt
h
(1,j)
(β; t, t
0
)|
2
dtdt
0
, j = 1, 2.
Справедливость оценки (5.15) следует из неравенства
kA(β)k 6 1+(kB
(1,1)
(β)k+kB
(2,1)
(β)k)kL
−1
k+kB
(1,2)
(β)k+kB
(2,2)
(β)k,
равенства (5.8) и очевидных оценок
kB
(2,j)
(β)k 6 c
2,j
(β), B
(2,j)
(β) : L
2
→ L
2
,
kB
(1,j)
(β)k
2
6 c
2
1,j
(β) + d
2
1,j
(β), B
(1,j)
(β) : L
2
→ W
1
2
, j = 1, 2.
Из определения оператора A
n
(β) и равенства (5.13) вытекает
kA
n
(β)k 6 kA(β)k, n ∈ N, β ∈ Λ. (5.16)
P -сходимость {w
n
}
n∈N
к w ∈ H, означает, что
kw
n
− p
n
wk → 0, n ∈ N.
Справедливость условия (5.5) вытекает, таким образом, из оценки
kA
n
w
n
− p
n
Awk 6 kA
n
kkw
n
− p
n
wk + kp
n
kkAkkp
n
w − wk, n ∈ N,
оценок (5.15), (5.16), равенства (5.13) и очевидного предельного соот-
ношения
kp
n
w − wk → 0, n ∈ N.
Проверим условие (5.6). P -компактность последовательности век-
торов {A
n
w
n
}
n∈N
означает, что для любого N
0
⊆ N существует та-
кое N
00
⊆ N
0
, что последовательность {A
n
w
n
= w
n
+ B
n
w
n
}
n∈N
00
P -
сходится к z ∈ H. Если kw
n
k 6 const, n ∈ N
00
, то существует сла-
бо сходящаяся подпоследовательность {w
n
}
n∈N
000
, N
000
⊂ N
00
. Вполне
112                                                                 Глава 5. Численные методы


      Имеет место оценка
                                    kA(β)k 6 c(β), β ∈ Λ,                                 (5.15)
где c(β) — непрерывная в области Λ функция:
c(β) = 1 + 2(c211 (β) + d211 (β))1/2 + (c212 (β) + d212 (β))1/2 + 2c21 (β) + c22 (β).
Здесь
                                Z2π Z2π
                          1
            c2ij (β) =                    |h(i,j) (β; t, t0 )|2 dtdt0 ,    i, j = 1, 2,
                         4π 2
                                0    0

                                Z2π Z2π
                      1                       d (1,j)
           d21j (β) = 2                   |      h (β; t, t0 )|2 dtdt0 ,     j = 1, 2.
                     4π                       dt
                                0    0
Справедливость оценки (5.15) следует из неравенства
kA(β)k 6 1+(kB (1,1) (β)k+kB (2,1) (β)k)kL−1 k+kB (1,2) (β)k+kB (2,2) (β)k,
равенства (5.8) и очевидных оценок
                 kB (2,j) (β)k 6 c2,j (β), B (2,j) (β) : L2 → L2 ,
      kB (1,j) (β)k2 6 c21,j (β) + d21,j (β), B (1,j) (β) : L2 → W21 , j = 1, 2.
      Из определения оператора An (β) и равенства (5.13) вытекает
                      kAn (β)k 6 kA(β)k, n ∈ N, β ∈ Λ.                                    (5.16)
P -сходимость {wn }n∈N к w ∈ H, означает, что
                           kwn − pn wk → 0, n ∈ N.
Справедливость условия (5.5) вытекает, таким образом, из оценки
  kAn wn − pn Awk 6 kAn kkwn − pn wk + kpn kkAkkpn w − wk, n ∈ N,
оценок (5.15), (5.16), равенства (5.13) и очевидного предельного соот-
ношения
                        kpn w − wk → 0, n ∈ N.
    Проверим условие (5.6). P -компактность последовательности век-
торов {An wn }n∈N означает, что для любого N 0 ⊆ N существует та-
кое N 00 ⊆ N 0 , что последовательность {An wn = wn + Bn wn }n∈N 00 P -
сходится к z ∈ H. Если kwn k 6 const, n ∈ N 00 , то существует сла-
бо сходящаяся подпоследовательность {wn }n∈N 000 , N 000 ⊂ N 00 . Вполне

Страницы