Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах 111
Ясно, что
kp
n
k = 1. (5.13)
Система линейных алгебраических уравнений (5.10), (5.11) экви-
валентна линейному операторному уравнению
A
n
(β)w
n
≡ p
n
A(β)w
n
≡ (I + p
n
B(β))w
n
≡ (I + B
n
(β))w
n
= 0. (5.14)
Здесь A
n
: H
n
→ H
n
, I — единичный оператор в пространстве H
n
.
Обозначим σ(A
n
) множество сингулярных точек оператора A
n
(β).
Приближенные значения β
n
постоянных распространения β будем ис-
кать как сингулярные точки оператора A
n
(β). Относительно сходи-
мости описанного метода, справедлива следующая теорема.
Теорема 5.26. Если β
0
∈ σ(A), то существует такая после-
довательность чисел {β
n
}
n∈N
, β
n
∈ σ(A
n
), что β
n
→ β
0
, n ∈ N.
Если {β
n
}
n∈N
— некоторая последовательность точек из Λ, такая,
что β
n
∈ σ(A
n
), β
n
→ β
0
∈ Λ, то β
0
∈ σ(A). Пусть {β
n
}
n∈N
—
некоторая последовательность точек из Λ и {w
n
}
n∈N
— некото-
рая последовательность нормированных векторов, kw
n
k = 1, та-
кие, что β
n
∈ σ(A
n
), A
n
(β
n
)w
n
= 0, β
n
→ β
0
∈ Λ, w
n
→ w
0
. То-
гда β
0
∈ σ(A) и A(β
0
)w
0
= 0, kw
0
k = 1.
Доказательство. Доказательство теоремы заключается в про-
верке условий 1 – 6 теорем 5.24 и 5.25 в рассматриваемом случае.
1. Оператор p
n
: H → H
n
обладает свойствами (5.1), (5.2). Первое
свойство выполняется в силу очевидных предельных соотношений
kΦ
n
uk → kuk, n ∈ N, u ∈ L
2
, W
1
2
.
Второе — очевидное следствие линейности оператора p
n
.
2. Оператор-функции A(β) и A
n
(β) голоморфны на Λ. Голоморф-
ность оператор-функции A(β) доказана в теореме 2.4. Следовательно,
таким же свойством обладает и A
n
(β) = p
n
A(β).
3. При любом β ∈ Λ операторы A(β) и A
n
(β) фредгольмовы. Это
непосредственно вытекает из полной непрерывности оператора
B(β) : H → H
и конечномерности оператора B
n
(β) при β ∈ Λ.
4. Для любого β ∈ Λ последовательность операторов {A
n
(β)}
n∈N
собственно сходится к оператору A(β). Для доказательства этого
утверждения проверим, выполняются ли условия (5.5), (5.6).
§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах          111


Ясно, что
                               kpn k = 1.                     (5.13)
   Система линейных алгебраических уравнений (5.10), (5.11) экви-
валентна линейному операторному уравнению

 An (β)wn ≡ pn A(β)wn ≡ (I + pn B(β))wn ≡ (I + Bn (β))wn = 0. (5.14)

Здесь An : Hn → Hn , I — единичный оператор в пространстве Hn .
   Обозначим σ(An ) множество сингулярных точек оператора An (β).
Приближенные значения βn постоянных распространения β будем ис-
кать как сингулярные точки оператора An (β). Относительно сходи-
мости описанного метода, справедлива следующая теорема.
    Теорема 5.26. Если β0 ∈ σ(A), то существует такая после-
довательность чисел {βn }n∈N , βn ∈ σ(An ), что βn → β0 , n ∈ N .
Если {βn }n∈N — некоторая последовательность точек из Λ, такая,
что βn ∈ σ(An ), βn → β0 ∈ Λ, то β0 ∈ σ(A). Пусть {βn }n∈N —
некоторая последовательность точек из Λ и {wn }n∈N — некото-
рая последовательность нормированных векторов, kwn k = 1, та-
кие, что βn ∈ σ(An ), An (βn )wn = 0, βn → β0 ∈ Λ, wn → w0 . То-
гда β0 ∈ σ(A) и A(β0 )w0 = 0, kw0 k = 1.
   Доказательство. Доказательство теоремы заключается в про-
верке условий 1 – 6 теорем 5.24 и 5.25 в рассматриваемом случае.
   1. Оператор pn : H → Hn обладает свойствами (5.1), (5.2). Первое
свойство выполняется в силу очевидных предельных соотношений

                kΦn uk → kuk,     n ∈ N,    u ∈ L2 , W21 .

Второе — очевидное следствие линейности оператора pn .
   2. Оператор-функции A(β) и An (β) голоморфны на Λ. Голоморф-
ность оператор-функции A(β) доказана в теореме 2.4. Следовательно,
таким же свойством обладает и An (β) = pn A(β).
   3. При любом β ∈ Λ операторы A(β) и An (β) фредгольмовы. Это
непосредственно вытекает из полной непрерывности оператора

                             B(β) : H → H

и конечномерности оператора Bn (β) при β ∈ Λ.
    4. Для любого β ∈ Λ последовательность операторов {An (β)}n∈N
собственно сходится к оператору A(β). Для доказательства этого
утверждения проверим, выполняются ли условия (5.5), (5.6).

Страницы