Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах 109
некоторая последовательность точек из Λ, такая, что β
n
∈ σ(A
n
)
и β
n
→ β
0
∈ Λ. Тогда β
0
∈ σ(A).
Теорема 5.25. Предположим, что выполнены условия 1 – 6
теоремы 5.24. Пусть {β
n
}
n∈N
— некоторая последовательность то-
чек из Λ, и {u
n
}
n∈N
— некоторая последовательность нормирован-
ных векторов ku
n
k = 1, таких, что β
n
∈ σ(A
n
), A
n
(β
n
)u
n
= 0
и β
n
→ β
0
∈ Λ, u
n
→ u
0
. Тогда β
0
∈ σ(A) и A(β
0
)u
0
= 0, ku
0
k = 1.
Отметим, что эти результаты носят локальный характер и, сле-
довательно, справедливы и в том случае, когда Λ — не область ком-
плексной плоскости, а риманова поверхность.
§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах
1. Метод Галеркина решения задачи со слабосингуляр-
ным оператором. Опишем численный метод решения задачи
(2.25), с. 52. При построении и исследовании численного метода опе-
раторное уравнение (2.25) удобно трактовать как уравнение в гиль-
бертовом пространстве
H = W
1
2
× L
2
.
При этом будем использовать известное (см., напр., [7], с. 10) выра-
жение для оператора L
−1
: W
1
2
→ L
2
L
−1
(u; t) =
c
0
(u)
ln 2
+ 2
∞
X
k=−∞
|k|c
k
(u)e
ikt
, u ∈ W
1
2
, (5.7)
где
c
k
(u) =
1
2π
2π
Z
0
u(τ)e
−ikτ
dτ
— коэффициенты Фурье функции u. Отметим, что
kL
−1
k = 2. (5.8)
Приближенное решение w
n
= (w
(1)
n
, w
(2)
n
) уравнения (2.25) будем
искать в виде
w
(j)
n
(t) =
n
X
k=−n
α
(j)
k
e
ikt
, n ∈ N, j = 1, 2.
§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах                            109


некоторая последовательность точек из Λ, такая, что βn ∈ σ(An )
и βn → β0 ∈ Λ. Тогда β0 ∈ σ(A).
    Теорема 5.25. Предположим, что выполнены условия 1 – 6
теоремы 5.24. Пусть {βn }n∈N — некоторая последовательность то-
чек из Λ, и {un }n∈N — некоторая последовательность нормирован-
ных векторов kun k = 1, таких, что βn ∈ σ(An ), An (βn )un = 0
и βn → β0 ∈ Λ, un → u0 . Тогда β0 ∈ σ(A) и A(β0 )u0 = 0, ku0 k = 1.
   Отметим, что эти результаты носят локальный характер и, сле-
довательно, справедливы и в том случае, когда Λ — не область ком-
плексной плоскости, а риманова поверхность.

§ 2. Метод Галеркина решения задач о собственных волнах

    1. Метод Галеркина решения задачи со слабосингуляр-
ным оператором. Опишем численный метод решения задачи
(2.25), с. 52. При построении и исследовании численного метода опе-
раторное уравнение (2.25) удобно трактовать как уравнение в гиль-
бертовом пространстве
                            H = W21 × L2 .
При этом будем использовать известное (см., напр., [7], с. 10) выра-
жение для оператора L−1 : W21 → L2
                                ∞
                                X
             −1       c0 (u)
           L (u; t) =        +2   |k|ck (u)eikt ,                     u ∈ W21 ,   (5.7)
                       ln 2
                                           k=−∞

где
                                                Z2π
                                          1
                              ck (u) =                u(τ )e−ikτ dτ
                                         2π
                                                0
— коэффициенты Фурье функции u. Отметим, что

                                         kL−1 k = 2.                              (5.8)
                                                      (1)    (2)
   Приближенное решение wn = (wn , wn ) уравнения (2.25) будем
искать в виде
                                  n
                                  X       (j)
                  wn(j) (t)   =          αk eikt , n ∈ N, j = 1, 2.
                                  k=−n

Страницы