Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 107 стр.

                                Глава 5
  ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
        СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
    ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ


      § 1. Проекционные методы решения нелинейных
                     спектральных задач

    Для численного решения задач на собственные значения с нели-
нейным вхождением спектральных параметров в интегральные опе-
раторы (2.25), с. 52, и (2.61), с. 65, применим метод Галеркина. Теоре-
тическое обоснование сходимости метода проведем на основе общих
результатов статьи [2], посвященной исследованию сходимости проек-
ционных методов решения нелинейных спектральных задач. Приве-
дем некоторые определения и необходимые нам формулировки теорем
из этой работы.
    Пусть даны банаховы пространства U и Un , n ∈ N , где N —
множество всех натуральных чисел. Через N 0 , N 00 и т. д. будем
обозначать бесконечные подмножества множества натуральных чи-
сел N . Под сходимостью zn → z, n ∈ N 0 будем понимать сходимость
при n → ∞, когда индекс n пробегает множество N 0 . Пусть операто-
ры pn : U → Un удовлетворяют условиям

                 kpn ukUn → kukU ,    n ∈ N,    ∀u ∈ U,              (5.1)

  kpn (αu + α0 u0 ) − (αpn u + α0 pn u0 )kUn → 0, n ∈ N, ∀u, u0 ∈ U, (5.2)
где α, α0 — произвольные комплексные константы.
    Последовательность {un }n∈N 0 , где un ∈ U , называется дискретно
сходящейся к пределу u ∈ U , если kun − pn uk → 0, n ∈ N 0 . Будем
обозначать это так: un → u, n ∈ N 0 .
    Последовательность {un }n∈N 0 называется дискретно компактной
или P -компактной, если для каждого N 00 ⊆ N 0 существует такое под-
множество N 000 ⊆ N 00 , что последовательность {un }n∈N 000 сходится к
некоторому пределу u ∈ U .