Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

108 Глава 5. Численные методы
Пусть даны банаховы пространства V и V
n
, n ∈ N и операто-
ры q
n
: V → V
n
, удовлетворяющие условиям
kq
n
vk
V
n
→ kvk
V
, n ∈ N, ∀v ∈ V, (5.3)
kq
n
(αv + α
0
v
0
) − (αq
n
v + α
0
q
n
v
0
)k
V
n
→ 0, n ∈ N, ∀v, v
0
∈ V, (5.4)
где α, α
0
— произвольные комплексные константы. Аналогично при-
веденным выше определениям вводятся понятия Q-сходимости и Q-
компактности.
Пусть даны некоторые операторы A : U → V и A
n
: U
n
→ V
n
.
Будем говорить, что последовательность операторов {A
n
}
n∈N
0
соб-
ственно сходится к оператору A, если выполнены условия
u
n
→ u, n ∈ N
0
⇒ A
n
u
n
→ Au, n ∈ N
0
, (5.5)
ku
n
k 6 const, {A
n
u
n
}
n∈N
0
Q−компактна ⇒ {u
n
}
n∈N
0
P −компактна.
(5.6)
Обозначим через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)
−1
: V → U} множе-
ство регулярных точек оператора A(β), σ(A) = Λ\ρ(A) — множество
сингулярных точек оператора A(β);
ρ(A
n
) = {β : β ∈ Λ, ∃A
n
(β)
−1
: V
n
→ U
n
}, σ(A
n
) = Λ \ ρ(A
n
).
Справедливы следующие теоремы [2].
Теорема 5.24. Предположим, что при n ∈ N выполнены сле-
дующие условия.
1. Операторы p
n
: U → U
n
, q
n
: V → V
n
удовлетворяют услови-
ям (5.1), (5.2) и (5.3), (5.4).
2. Λ — область (открытое связное множество) в комплексной
плоскости, A(β) : U → V и A
n
(β) : U
n
→ V
n
— голоморфные на Λ
оператор-функции.
3. При каждом фиксированном β ∈ Λ операторы A(β), A
n
(β)
фредгольмовы.
4. A
n
(β) → A(β) собственно ∀β ∈ Λ.
5. Нормы kA
n
(β)k ограничены равномерно по n и β на каждом
компакте Λ
0
⊂ Λ.
6. Множество ρ(A) 6= ®, то есть σ(A) 6= Λ.
Пусть β
0
∈ σ(A), тогда существует такая последовательность
точек {β
n
}
n∈N
, β
n
∈ σ(A
n
), что β
n
→ β
0
, n ∈ N. Пусть {β
n
}
n∈N
—
108                                                 Глава 5. Численные методы


   Пусть даны банаховы пространства V и Vn , n ∈ N и операто-
ры qn : V → Vn , удовлетворяющие условиям

                    kqn vkVn → kvkV ,   n ∈ N,      ∀v ∈ V,               (5.3)

  kqn (αv + α0 v 0 ) − (αqn v + α0 qn v 0 )kVn → 0, n ∈ N, ∀v, v 0 ∈ V,   (5.4)
где α, α0 — произвольные комплексные константы. Аналогично при-
веденным выше определениям вводятся понятия Q-сходимости и Q-
компактности.
    Пусть даны некоторые операторы A : U → V и An : Un → Vn .
Будем говорить, что последовательность операторов {An }n∈N 0 соб-
ственно сходится к оператору A, если выполнены условия

                  un → u, n ∈ N 0 ⇒ An un → Au, n ∈ N 0 ,                 (5.5)

kun k 6 const, {An un }n∈N 0 Q − компактна ⇒ {un }n∈N 0 P − компактна.
                                                                  (5.6)
                                                 −1
    Обозначим через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β) : V → U } множе-
ство регулярных точек оператора A(β), σ(A) = Λ \ ρ(A) — множество
сингулярных точек оператора A(β);

      ρ(An ) = {β : β ∈ Λ, ∃An (β)−1 : Vn → Un },     σ(An ) = Λ \ ρ(An ).

      Справедливы следующие теоремы [2].
    Теорема 5.24. Предположим, что при n ∈ N выполнены сле-
дующие условия.
    1. Операторы pn : U → Un , qn : V → Vn удовлетворяют услови-
ям (5.1), (5.2) и (5.3), (5.4).
    2. Λ — область (открытое связное множество) в комплексной
плоскости, A(β) : U → V и An (β) : Un → Vn — голоморфные на Λ
оператор-функции.
    3. При каждом фиксированном β ∈ Λ операторы A(β), An (β)
фредгольмовы.
    4. An (β) → A(β) собственно ∀β ∈ Λ.
    5. Нормы kAn (β)k ограничены равномерно по n и β на каждом
компакте Λ0 ⊂ Λ.
    6. Множество ρ(A) 6= ®, то есть σ(A) 6= Λ.
    Пусть β0 ∈ σ(A), тогда существует такая последовательность
точек {βn }n∈N , βn ∈ σ(An ), что βn → β0 , n ∈ N . Пусть {βn }n∈N —

Страницы