Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110 Глава 5. Численные методы
Коэффициенты α
(j)
k
будем определять с помощью метода Галеркина:
2π
Z
0
(Aw
n
)
(k)
(t)e
−ijt
dt = 0, j = −n, ..., n, k = 1, 2. (5.9)
В силу (5.7) имеем
L
−1
(w
(1)
n
; t) =
α
(1)
0
ln 2
+ 2
n
X
k=−n
|k|α
(1)
k
e
ikt
,
поэтому равенства (5.9) эквивалентны системе линейных алгебраиче-
ских уравнений
α
(1)
j
+
n
X
k=−n
h
(1,1)
jk
(β)d
j
α
(1)
k
+
n
X
k=−n
h
(1,2)
jk
(β)α
(2)
k
= 0, j = −n, ..., n, (5.10)
α
(2)
j
+
n
X
k=−n
h
(2,1)
jk
(β)d
j
α
(1)
k
+
n
X
k=−n
h
(2,2)
jk
(β)α
(2)
k
= 0, j = −n, ..., n. (5.11)
Здесь d
j
= {1/ ln 2 при j = 0, 2|j| при j 6= 0},
h
(l,m)
jk
(β) =
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
h
(l,m)
(β; t, τ)e
−ijt
e
ikτ
dtdτ.
Напомним, что ядра h
(l,m)
не имеют особенности при t = τ. Таким об-
разом, применение метода Галеркина с тригонометрическим базисом
позволяет обратить главную часть сингулярных операторов аналити-
чески.
Пусть H
T
n
— множество всех тригонометрических полиномов по-
рядка не выше n. Обозначим через H
n
подпространство H элементов
вида (w
(1)
n
, w
(2)
n
), w
(1)
n
, w
(2)
n
∈ H
T
n
. Введем в рассмотрение оператор
проектирования p
n
: H → H
n
:
p
n
w = (Φ
n
w
(1)
, Φ
n
w
(2)
), w = (w
(1)
, w
(2)
) ∈ H, (5.12)
где Φ
n
— оператор Фурье:
Φ
n
(u; t) =
n
X
k=−n
c
k
(u)e
ikt
.
110                                                                    Глава 5. Численные методы


                       (j)
Коэффициенты αk будем определять с помощью метода Галеркина:
           Z2π
              (Awn )(k) (t)e−ijt dt = 0, j = −n, ..., n, k = 1, 2.                         (5.9)
            0

В силу (5.7) имеем
                                               (1)    n
                                                      X
                       −1                    α0             (1)
                   L         (wn(1) ; t)   =       +2   |k|αk eikt ,
                                             ln 2
                                                            k=−n

поэтому равенства (5.9) эквивалентны системе линейных алгебраиче-
ских уравнений
        n
        X                                  n
                                           X
  (1)           (1,1)     (1)                       (1,2)        (2)
 αj +          hjk (β)dj αk +                      hjk (β)αk = 0, j = −n, ..., n, (5.10)
        k=−n                               k=−n

        n
        X                                  n
                                           X
  (2)           (2,1)     (1)                       (2,2)        (2)
 αj +          hjk (β)dj αk +                      hjk (β)αk = 0, j = −n, ..., n. (5.11)
        k=−n                               k=−n

Здесь dj = {1/ ln 2 при j = 0, 2|j| при j 6= 0},
                                       Z2π Z2π
                 (l,m)    1
                hjk (β) = 2                        h(l,m) (β; t, τ )e−ijt eikτ dtdτ.
                         4π
                                           0   0

Напомним, что ядра h(l,m) не имеют особенности при t = τ . Таким об-
разом, применение метода Галеркина с тригонометрическим базисом
позволяет обратить главную часть сингулярных операторов аналити-
чески.
   Пусть HnT — множество всех тригонометрических полиномов по-
рядка не выше n. Обозначим через Hn подпространство H элементов
        (1)  (2)   (1)   (2)
вида (wn , wn ), wn , wn ∈ HnT . Введем в рассмотрение оператор
проектирования pn : H → Hn :

        pn w = (Φn w(1) , Φn w(2) ),                 w = (w(1) , w(2) ) ∈ H,              (5.12)

где Φn — оператор Фурье:
                                                    n
                                                    X
                                 Φn (u; t) =                ck (u)eikt .
                                                   k=−n

Страницы