Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

114 Глава 5. Численные методы
Приближенное решение w
n
= (w
(1)
n
, w
(2)
n
, w
(3)
n
, w
(4)
n
) уравнения
(2.61) будем искать в виде
w
(j)
n
(t) =
n
X
k=−n
α
(j)
k
e
ikt
, n ∈ N, j = 1, 2, 3, 4.
Коэффициенты α
(j)
k
будем определять с помощью метода Галеркина:
2π
Z
0
(Aw
n
)
(j)
(t)e
−ikt
dt = 0, k = −n, ..., n, j = 1, 2, 3, 4. (5.19)
В силу (5.7) и (5.17) действие операторов L
−1
и S
−1
на базисные функ-
ции выражается в явном виде (тригонометрические функции являют-
ся собственными функциями этих операторов, отвечающими извест-
ным собственным значениям). Равенства (5.19) представляют собой
систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвест-
ного вектора {α
(j)
k
}, k = −n, ..., n, j = 1, 2, 3, 4. Элементы матри-
цы этой системы определяются собственными значениями операто-
ров L
−1
и S
−1
и интегралами вида
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
h
(l)
+/∞
(β; t, τ )e
−ijt
e
ikτ
dtdτ, l = 1, 2, 3
от функций h
(l)
+/∞
(β; t, τ ), не имеющих особенности при t = τ.
Исследуем сходимость метода Галеркина. Пусть H
T
n
— множе-
ство всех тригонометрических полиномов порядка не выше n. Обозна-
чим через H
n
подпространство H элементов (w
(1)
n
, w
(2)
n
, w
(3)
n
, w
(4)
n
),
где w
(1)
n
, w
(2)
n
, w
(3)
n
, w
(4)
n
∈ H
T
n
. Введем в рассмотрение оператор про-
ектирования p
n
: H → H
n
p
n
w = (Φ
n
w
(1)
, Φ
n
w
(2)
, Φ
n
w
(3)
, Φ
n
w
(4)
),
w = (w
(1)
, w
(2)
, w
(3)
, w
(4)
) ∈ H,
где Φ
n
— оператор Фурье
Φ
n
(u; t) =
n
X
k=−n
c
k
(u)e
ikt
.
Ясно, что
kp
n
k = 1.
114                                                               Глава 5. Численные методы


                                                        (1)    (2)     (3)    (4)
    Приближенное решение wn = (wn , wn , wn , wn ) уравнения
(2.61) будем искать в виде
                                    n
                                    X      (j)
              wn(j) (t)        =          αk eikt , n ∈ N, j = 1, 2, 3, 4.
                                   k=−n

                         (j)
Коэффициенты αk будем определять с помощью метода Галеркина:
      Z2π
         (Awn )(j) (t)e−ikt dt = 0, k = −n, ..., n, j = 1, 2, 3, 4.                  (5.19)
      0

В силу (5.7) и (5.17) действие операторов L−1 и S −1 на базисные функ-
ции выражается в явном виде (тригонометрические функции являют-
ся собственными функциями этих операторов, отвечающими извест-
ным собственным значениям). Равенства (5.19) представляют собой
систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвест-
                  (j)
ного вектора {αk }, k = −n, ..., n, j = 1, 2, 3, 4. Элементы матри-
цы этой системы определяются собственными значениями операто-
ров L−1 и S −1 и интегралами вида
                     Z2π Z2π
             1                     (l)
                               h+/∞ (β; t, τ )e−ijt eikτ dtdτ,         l = 1, 2, 3
            4π 2
                     0    0
               (l)
от функций h+/∞ (β; t, τ ), не имеющих особенности при t = τ .
    Исследуем сходимость метода Галеркина. Пусть HnT — множе-
ство всех тригонометрических полиномов порядка не выше n. Обозна-
                                                (1)  (2)   (3) (4)
чим через Hn подпространство H элементов (wn , wn , wn , wn ),
      (1)  (2)  (3)  (4)
где wn , wn , wn , wn ∈ HnT . Введем в рассмотрение оператор про-
ектирования pn : H → Hn
                pn w = (Φn w(1) , Φn w(2) , Φn w(3) , Φn w(4) ),
                          w = (w(1) , w(2) , w(3) , w(4) ) ∈ H,
где Φn — оператор Фурье
                                                 n
                                                 X
                                   Φn (u; t) =          ck (u)eikt .
                                                 k=−n

Ясно, что
                                            kpn k = 1.

Страницы