Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

116 Глава 5. Численные методы
решения нелинейной спектральной задачи (5.21) состоит в следую-
щем.
Шаг 1. Пусть l = 0. Выберем начальное приближение u
(0)
к u.
Шаг 2. Вычислим очередное приближение β
l+1
к характеристиче-
скому значению β, как ближайший к значению β
l
корень уравнения
³
e(u
(l)
), A
−1
(σ)A(β
l+1
)u
(l)
´
= 0.
Шаг 3. Вычислим невязку
r
(l)
= A(β
l+1
)u
(l)
.
Шаг 4. Решим следующее уравнение
A(σ)bu
(l)
= r
(l)
.
Вычислим очередное приближение u
(l+1)
к собственному вектору u
¯u
(l+1)
= u
(l)
− bu
(l)
, u
(l+1)
= ¯u
(l+1)
/k¯u
(l+1)
k.
Шаг 5. Итерационный процесс останавливается, если относитель-
ная ошибка характеристического значения достигает заданной точ-
ности ε:
|β
l+1
− β
l
|
|β
l
|
≤ ε.
В противном случае увеличим l на единицу и вернемся к шагу 2.
Относительно сходимости этого метода справедлива следующая
теорема [46].
Теорема 5.28. Пусть элементы матрицы A(β) являются два-
жды непрерывно дифференцируемыми функциями параметра β ∈ Λ.
Пусть вектор u является нормализованным собственным векто-
ром, отвечающим простому (в геометрическом смысле) изолиро-
ванному характеристическому значению β задачи (5.21). Тогда ме-
тод обратных итераций с невязкой решения задачи (5.21) сходится
для любого начального приближения σ, достаточно близкого к β.
Справедливы следующие оценки скорости сходимости:
ku
(l+1)
− uk/ku
(l)
− uk = O (σ − β) , |β
l+1
− β| = O
³
ku
(l)
− uk
´
.
Отметим, что эти результаты носят локальный характер и, сле-
довательно, справедливы и в том случае, когда Λ — не область ком-
плексной плоскости, а риманова поверхность. В рассматриваемых на-
ми случаях решения задач (2.2) – (2.5), с. 42, и (2.29) – (2.32), с. 55 опи-
санным методом, элементы матрицы A(β) являются аналитическими
116                                                    Глава 5. Численные методы


решения нелинейной спектральной задачи (5.21) состоит в следую-
щем.
   Шаг 1. Пусть l = 0. Выберем начальное приближение u(0) к u.
   Шаг 2. Вычислим очередное приближение βl+1 к характеристиче-
скому значению β, как ближайший к значению βl корень уравнения
                 ³                           ´
                      (l)  −1            (l)
                   e(u ), A (σ)A(βl+1 )u       = 0.
      Шаг 3. Вычислим невязку
                              r(l) = A(βl+1 )u(l) .
      Шаг 4. Решим следующее уравнение
                                    u(l) = r(l) .
                                A(σ)b
Вычислим очередное приближение u(l+1) к собственному вектору u
              ū(l+1) = u(l) − u
                               b(l) ,   u(l+1) = ū(l+1) /kū(l+1) k.
   Шаг 5. Итерационный процесс останавливается, если относитель-
ная ошибка характеристического значения достигает заданной точ-
ности ε:
                         |βl+1 − βl |
                                      ≤ ε.
                             |βl |
В противном случае увеличим l на единицу и вернемся к шагу 2.
   Относительно сходимости этого метода справедлива следующая
теорема [46].
    Теорема 5.28. Пусть элементы матрицы A(β) являются два-
жды непрерывно дифференцируемыми функциями параметра β ∈ Λ.
Пусть вектор u является нормализованным собственным векто-
ром, отвечающим простому (в геометрическом смысле) изолиро-
ванному характеристическому значению β задачи (5.21). Тогда ме-
тод обратных итераций с невязкой решения задачи (5.21) сходится
для любого начального приближения σ, достаточно близкого к β.
Справедливы следующие оценки скорости сходимости:
                                                    ³       ´
     (l+1)        (l)                                  (l)
  ku       − uk/ku − uk = O (σ − β) , |βl+1 − β| = O ku − uk .

    Отметим, что эти результаты носят локальный характер и, сле-
довательно, справедливы и в том случае, когда Λ — не область ком-
плексной плоскости, а риманова поверхность. В рассматриваемых на-
ми случаях решения задач (2.2) – (2.5), с. 42, и (2.29) – (2.32), с. 55 опи-
санным методом, элементы матрицы A(β) являются аналитическими

Страницы