Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 119 стр.

§ 3. Численные эксперименты                                      119


заключается в том, что приближенное решение задачи ищется в виде
разложения по собственным векторам симметричной части соответ-
ствующего ей дифференциального оператора. Теоретического обос-
нования сходимости этого метода получено не было.
    Следуя [40], были построены дисперсионные кривые для ком-
плексных собственных значений — графики зависимости веществен-
                                                          p
ной и мнимой части параметра h = β/(kn∞ ) от V = kR n2+ − n2∞
при фиксированном значении (n2+ − n2∞ )/(2n2∞ ) = 30. Результаты вы-
числений представлены на рисунке 2, с. 122. Непрерывными линиями
изображены точные решения, полученные как корни уравнения (1.88)
с номером l = 1 (верхний график — Im(h), нижний — Re(h)). Кру-
жочками на рисунке 2 отмечены результаты наших вычислений, ко-
торые с графической точностью совпали с результатами работы [40].
На рисунках 3 и 4 изображены линии уровня функций |E3 | и |H3 |
соответственно при V = 2.
    Помимо комплексных собственных волн волновода кругового по-
перечного сечения, для демонстрации эффективности предлагаемо-
го метода разыскивались также комплексные собственные волны ди-
электрического волновода квадратного поперечного сечения. На ри-
сунке 2 квадратиками отмечены значения Im(h) и Re(h), а на рисун-
ках 5 и 6 при V = 2 изображены линии уровня функций |E3 | и |H3 |
для волновода квадратного сечения.
    Для демонстрации внутренней сходимости метода было изучено
поведение функции
                              kα(M ) − α(M + 10)k
                    e(M ) =                       ,
                                 kα(M + 10)k
где α — вектор коэффициентов метода Галеркина (5.19), M — число
базисных функций этого метода. На рисунке 7 для различных значе-
ний параметра m, определяющего степень аппроксимации квадрата
гладкой кривой (5.22), изображены графики функции
                               max e(M ),
                                 h
где максимум брался по параметру h, принадлежавшему множеству
тех значений h, для которых были получены дисперсионные кривые,
изображенные на рисунках 1 и 2.
    Отметим, что все остальные вычисления, а именно, вычисление
коэффициентов метода Галеркина (5.19) стандартным методом, осно-
ванным на алгоритме быстрого преобразования Фурье, вычисление