Рыбопромысловая гидроакустика. Карлик Я.С - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Приращение массы жидкости, протекающей в направлении оси х в
единицу времени, dm
1
− dm
2
= − dxdydz
x
v
x
∂
∂
)(
ρ
. Аналогично определяется
приращение массы жидкости −
dxdydz
y
v
y
∂
∂
)(
ρ
и − dxdydz
z
v
z
∂
∂
)(
ρ
, проте-
кающей в единицу времени через грани, перпендикулярные осям y и z.
Полное приращение массы dm внутри параллелепипеда в единицу вре-
мени, или скорость приращения массы, выражается суммой трех вели-
чин [4]:
dm = −
dxdydz
z
v
y
v
x
v
z
y
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )(
)(
)(
ρ
ρ
ρ
. (2.2)
Приращение массы жидкости в единицу времени при постоянном
объеме происходит за счет изменения плотности. Поэтому скорость при-
ращения массы можно выразить через скорость изменения плотности
tdt
d
∂
∂
≈
ρ
ρ
, т.е.
dm = dxdydz
t∂
∂
ρ
. (2.3)
Приравнивая выражения (2.2) и (2.3), получаем:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
z
v
y
v
x
v
t
z
y
x
)(
)(
)(
ρ
ρ
ρρ
. (2.4)
Это уравнение упрощается, если плотность ρ выразить через статиче-
ское значение ρ
0
и величину относительного изменения плотности
0
0
ρ
ρ
ρ
σ
−
=− . Подставляя значение ρ = ρ
0
(1 + σ) в первый член уравнения
(2.4), имеем:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂
∂
x
v
x
v
v
xx
v
xx
x
x
)(
)(1
)(
00
σ
ρσρ
ρ
. (2.5)
Произведение σv
x
является величиной малой, поэтому им пренебре-
гаем. Тогда
x
v
x
v
xx
∂
∂
=
∂
∂
0
)(
ρ
ρ
.
Аналогично находим
y
v
y
v
yy
∂
∂
=
∂
∂
0
)(
ρ
ρ
и
z
v
z
v
zz
∂
∂
=
∂
∂
0
)(
ρ
ρ
.
22
    Приращение массы жидкости, протекающей в направлении оси х в
                               ∂ ( ρvx )
единицу времени, dm1 − dm2 = −           dxdydz . Аналогично определяется
                                  ∂x
                               ∂ ( ρv y )            ∂ ( ρvz )
приращение массы жидкости −               dxdydz и −           dxdydz , проте-
                                   ∂y                   ∂z
кающей в единицу времени через грани, перпендикулярные осям y и z.
Полное приращение массы dm внутри параллелепипеда в единицу вре-
мени, или скорость приращения массы, выражается суммой трех вели-
чин [4]:

                          ⎡ ∂ ( ρvx ) ∂ ( ρv y ) ∂ ( ρvz ) ⎤
                   dm = − ⎢          +          +          ⎥ dxdydz .    (2.2)
                          ⎣    ∂ x       ∂ y        ∂ z    ⎦
    Приращение массы жидкости в единицу времени при постоянном
объеме происходит за счет изменения плотности. Поэтому скорость при-
ращения массы можно выразить через скорость изменения плотности
dρ ∂ρ
   ≈    , т.е.
 dt ∂t

                                       ∂ρ
                                dm =      dxdydz .                       (2.3)
                                       ∂t

    Приравнивая выражения (2.2) и (2.3), получаем:

                       ∂ρ    ⎡ ∂ ( ρvx ) ∂ ( ρv y ) ∂ ( ρvz ) ⎤
                          = −⎢          +          +          ⎥.         (2.4)
                       ∂t    ⎣    ∂ x       ∂ y        ∂ z    ⎦

    Это уравнение упрощается, если плотность ρ выразить через статиче-
ское значение ρ0 и величину относительного изменения плотности
     ρ − ρ0
−σ =        . Подставляя значение ρ = ρ0(1 + σ) в первый член уравнения
        ρ0
(2.4), имеем:

                 ∂ ( ρvx ) ∂                      ⎡ ∂v ∂ (σvx ) ⎤
                          = [ρ0 (1 + σ )vx ] = ρ0 ⎢ x +             . (2.5)
                    ∂x      ∂x                    ⎣ ∂x        ∂x ⎥⎦
    Произведение σvx является величиной малой, поэтому им пренебре-
            ∂ ( ρvx )      ∂v
гаем. Тогда           = ρ0 x .
               ∂x          ∂x
                              ∂ ( ρv y )     ∂v    ∂ ( ρvz )     ∂v
    Аналогично находим                   = ρ0 y и            = ρ0 z .
                                 ∂y          ∂y       ∂z         ∂z

                                       22

Страницы