Рыбопромысловая гидроакустика. Карлик Я.С - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

во
dt
v
dt
dv
xx
∂
≈
, с учетом которого уравнение (2.7) принимает вид:
x
p
t
v
x
∂
∂
−=
∂
∂
ρ
1
. (2.8)
Аналогично получаются дифференциальные уравнения движения
жидкости в направлении осей y и z:
y
p
t
v
y
∂
∂
−=
∂
∂
ρ
1
, (2.9)
z
p
t
v
z
∂
∂
−=
∂
∂
ρ
1
. (2.10)
Введем вспомогательную функцию Ф(х, у, z, t), называемую потен-
циалом скорости. Частные производные от потенциала скорости по коор-
динатам являются линейными скоростями колеблющихся частиц по соот-
ветствующим направлениям:
x
v
x
Ф
=
∂
∂
,
y
v
y
Ф
=
∂
∂
и
z
v
z
Ф
=
∂
∂
. После подста-
новки этих значений в уравнения (2.8 – 2.10) получаем следующие выра-
жения [4]:
x
p
t
Ф
x ∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ρ
1
;
y
p
t
Ф
y ∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ρ
1
;
z
p
t
Ф
z ∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ρ
1
.
Умножим левые и правые части полученных уравнений соответст-
венно на dx, dy, dz, сложим и проинтегрируем:
.dz
z
p
dy
v
p
dx
x
p
dz
t
Ф
z
dy
t
Ф
y
dx
t
Ф
x
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ρ
1
Подынтегральные выражения левой и правой части этого равенства
представляют собой полные дифференциалы величин
t
Ф
∂
∂
и p:
∫∫
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
dp
t
Ф
d
ρ
1
.
Интегрируя последнее равенство и принимая ρ ≈ ρ
0
, учитываем, что
24
     dvx ∂vx
во       ≈    , с учетом которого уравнение (2.7) принимает вид:
      dt   dt

                                   ∂vx    1 ∂p
                                       =−      .                               (2.8)
                                    ∂t    ρ ∂x

    Аналогично получаются дифференциальные уравнения движения
жидкости в направлении осей y и z:

                                    ∂v y        1 ∂p
                                           =−        ,                         (2.9)
                                     ∂t         ρ ∂y

                                    ∂vz    1 ∂p
                                        =−      .                             (2.10)
                                     ∂t    ρ ∂z

     Введем вспомогательную функцию Ф(х, у, z, t), называемую потен-
циалом скорости. Частные производные от потенциала скорости по коор-
динатам являются линейными скоростями колеблющихся частиц по соот-
                           ∂Ф         ∂Ф         ∂Ф
ветствующим направлениям:      = vx ,     = vy и    = vz . После подста-
                            ∂x         ∂y        ∂z
новки этих значений в уравнения (2.8 – 2.10) получаем следующие выра-
жения [4]:

             ∂ ⎛ ∂Ф ⎞    1 ∂p     ∂ ⎛ ∂Ф ⎞    1 ∂p       ∂ ⎛ ∂Ф ⎞    1 ∂p
                ⎜    ⎟=−      ;      ⎜    ⎟=−      ;        ⎜    ⎟=−      .
             ∂x ⎝ ∂t ⎠   ρ ∂x     ∂y ⎝ ∂t ⎠   ρ ∂y       ∂z ⎝ ∂t ⎠   ρ ∂z

    Умножим левые и правые части полученных уравнений соответст-
венно на dx, dy, dz, сложим и проинтегрируем:

      ⎡ ∂ ⎛ ∂Ф ⎞    ∂ ⎛ ∂Ф ⎞     ∂ ⎛ ∂Ф ⎞ ⎤       1 ⎛ ∂p   ∂p   ∂p ⎞
     ∫ ⎢⎣ ∂x ⎜⎝ ∂t
               ⎟dx + ⎜
               ⎠
                            ⎟dy + ⎜
                    ∂y ⎝ ∂t ⎠
                                         ⎟dz ⎥ = − ∫ ⎜ dx + dy + dz ⎟.
                                 ∂z ⎝ ∂t ⎠ ⎦      ρ ⎝ ∂x   ∂v   ∂z ⎠

    Подынтегральные выражения левой и правой части этого равенства
                                                ∂Ф
представляют собой полные дифференциалы величин    и p:
                                                ∂t

                               ⎛ ∂Ф ⎞     1
                            ∫ ⎝ ∂t ⎠ ρ ∫ dp .
                             d ⎜    ⎟ = −

       Интегрируя последнее равенство и принимая ρ ≈ ρ0, учитываем, что

                                           24

Страницы