Физика фононов. Карпов С.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

∑∑
−
+=+=
lpnm
p
m
l
n
mn
pl
ln
l
nl
UUФUmVTE
,
,
,
2
)(
2
1
)(
2
1
βααβ
α
α
&
.
Член, отвечающий кинетической энергии достаточно прост – это сумма
кинетических энергий определенных частиц кристалла. Поэтому суммирования
происходит по всем точкам физического пространства кристалла. Член,
описывающий потенциальную энергию имеет другой вид, – это сумма перекрестных
членов, относящихся к разным точкам реального пространства. Это связано с тем,
что потенциальная энергия зависит от взаимных
смещений атомов, находящихся в
разных узлах решетки.
Ясно, что подходящим преобразованием исходных координат U
l
n
α
можно
перейти к новым координатам Q
j
(k), в которых и кинетическая и потенциальная
энергия кристалла будет представлена в виде суммы квадратов, т.е. будет
отсутствовать перекрестные члены. Физический смысл преобразования,
приводящего к диагональному виду сразу две квадратичные формы, достаточно ясен.
Первым шагом нужно выбрать такое преобразование исходных координат, которое
диагонализирует первую квадратичную форму. Это всегда можно сделать, поскольку
в координатах, совпадающих с главными полуосями поверхности второго порядка
(гиперэллипсоида), с которой ассоциируется квадратичная форма, она будет
диагонализирована. При этом вторая квадратичная форма изменится, но в общем
случае диагональной не станет. Вторым шагом можно проделать преобразование,
при котором гиперэллипсоид первой формы преобразуется в гиперсферу, а вторая
квадратичная форма опять
останется недиагональной. Последним шагом явится
такое преобразование координат, при котором координаты могут быть выбраны
совпадающими с главными полуосями гиперповерхности второго порядка,
соответствующей второй квадратичной форме. В этих координатах вторая
квадратичная форма будет диагонализирована, в то же время первая квадратичная
форма останется квадратичной, поскольку была гиперсферой.
Выбранные таким образом координаты называются
нормальными координатами.
Они являются линейными комбинациями исходных декартовых координат,
изменяются по косинусоидальному (или синусоидальному) закону и описывают
движение всех частиц системы с одной частотой и различной амплитудой.
Нормальные координаты определяются преобразованием, обратным к (*)
{}
∑∑
=
∗
==
s
l
l
l
n
rki
l
j
nl
lj
mMUekAm
MN
tkQ
n
1
),(
;)(
1
),(
αα
α
.
Используя эти координаты, можно получить
выражение для энергии колебаний кристалла, которое не будет содержать
перекрестных членов, относящимся к разным точкам пространства:

Страницы