Составители:
Рубрика:
– гармоническая часть, а H′ представляет собой кубический член и член четвертого
порядка при разложении потенциальной энергии в ряд по смещениям:
()
(
)
∑∑
+=
′
+
′
=
′
αβγ
δγβα
αβλδ
αβγδγβααβγ
,
,
,
,
43
!4
1
!3
1
pqr
nml
s
k
r
l
q
m
p
n
nmlk
pqrs
pqrs
nmlk
r
l
q
m
p
n
nml
pqr
UUUUФUUUФHHH
Если использовать при учете ангармонизма нормальные (т.е. гармонические )
координаты Q
j
(k), то гамильтониан H
o
будет иметь квадратичную форму, а добавка H′
вид:
()
(
)
∑∑
+=
′
321
321
4321
4321
4321
4321
321
321
)()()()(
!4
1
)()()(
!3
1
44332211332211
jjj
kkk
jjjj
kkkk
jjjj
kkkk
jjjj
jjj
kkk
jjj
kQkQkQkQBkQkQkQBH
Ясно, что в этом случае кубический ангармонический член связывает три нормальные
координаты и, следовательно, характеризует процесс взаимодействия трех фононов
Q
j1
(k
1
), Q
j2
(k
2
), Qj
3
(k
3
) с волновыми векторами k
1
, k
2
, k
3
, принадлежащие ветвям j
1
, j
2
, j
3
соответственно. Член четвертой степени описывает взаимодействие четырех фононов
Q
j1
(k
1
), Q
j2
(k
2
), Q
j3
(k
3
), Q
j4
(k
4
).
Поскольку общий вид нормального колебания представляет собой функцию Блоха с
множителем exp[i(
kr
n
)], то в произведении Q
j1
(k
1
)*Q
j2
(k
2
)*Q
j3
(k
3
) для трехфононного
процесса будет входить множитель exp[i(
k
1
r
n
)]*exp[i(k
2
r
n
)]*exp[i(k
3
r
n
)], который из-за
условий периодичности кристалла должен быть инвариантен относительно добавлению
к вектору
r
n
произвольного вектора r
i
:
exp[i(
k
1
+k
2
+k
3
,a
i
)]=1 и, значит, k
1
+k
2
+k
3
=K
m
,
где K
m
=b
1
m
1
+b
2
m
2
+b
3
m
3
– целочисленный вектор обратной решетки. Аналогично
сказанному, для четырехфононных процессов будет выполнено
k
1
+k
2
+k
3
+k
4
=K
m
Эти выражения представляют собой закон сохранения импульса k фонона: при
взаимодействии сумма импульсов взаимодействующих фононов сохраняется с
точностью до целочисленного вектора обратной решетки
K
m
. Отличие этого закона
