Физика фононов. Карпов С.В. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

a возбуждений, которые либо увеличивают квантовое число на единицу, либо уменьшают его на единицу.
На диаграмме горизонтальными линиями указаны энергетические состояния гармонического
осциллятора с квантовыми числами …n-1, n, n+1… и т.д. Член первого порядка
∆
E
(1)
n
содержит вклады
(a
3
x
3
)
nn
и (a
4
x
4
)
nn
и вызывает смещение уровня на величину
∆
E
n
(куб)
и
∆
E
n
(четв)
. Поскольку невозможно
нарисовать три перехода, чтобы и начальное и конечное состояние было бы одинаковым, член
∆
E
n
(куб)
=0.
Вычисление члена четвертого порядка
∆
E
n
(четв)
в первом приближении теории возмущений дает шесть
вариантов переходов с рождением и уничтожением возбуждения. Поскольку каждый акт рождения из
состояния n дает вклад, пропорциональный (n+1)
1/2
, а акт уничтожения из состояния n – вклад,
пропорциональный n
1/2
, суммарная поправка к энергии может быть вычислена как это показано на
диаграмме. В первой колонке показаны возможные переходы, во второй – последовательность действия
операторов, в третьей - вклады соответствующих процессов, а в четвертой колонке указаны раздельно
вклады в энергию при степенях квантового числа n: n
2
, n
1
, n
0
. Поправка во втором порядке теории
возмущений (сумма по всем возможным состояниям системы) обычно рассматривается только для
кубического ангармонического члена.
5.3. Фонон-фононные взаимодействия
Учет ангармонизма при рассмотрении отдельного осциллятора приводит только к
перенормировке собственных значений системы (и, естественно, к изменению правил
отбора). При рассмотрении же набора ангармонических осцилляторов, которые имею
место в кристалле, задача становится более сложной. Набор ангармонических
осцилляторов никаким выбором новых координат невозможно свести к совокупности
независимых (невзаимодействующих) мод. Перекрестные члены
в гамильтониане,
которые были исключены в случае набора гармонических осцилляторов выбором
нормальных осцилляторов и тем самым вводят взаимодействие между отдельными
осцилляторами (фононами). Вид матричных элементов в обоих случаях выглядит
следующим образом:
O
O
O
O
nnnnnn
HHнулине
нулинеHH
HН
и
Hнули
нулиH
H
′
∆+
′
∆+
′
∆+
)0(
22
)0(
22
11
)0(
11
)0(
)0(
22
)0(
11
Поскольку в ангармоническом случае точно диаганализировать гамильтониан
невозможно, используют нормальные координаты, полученные в гармоническом
приближении. Это позволяет выделить основные несвязанные члены, входящие в
матричные элементы. Добавки
∆
H
nn
на диагонали фактически указывают на
перенормировку собственных значений (т.е. энергий фононов). Однако, в случае набора
ангармонических осцилляторов эта поправка комплексна. Действительная ее часть
характеризует изменение энергии реального физического фонона, а мнимая часть –
указывает на конечное время жизни. Недиагональные члены матричных элементов
характеризуют взаимодействие с другими фононами.
Гамильтониан набора ангармонических
осцилляторов имеет вид H=Ho+H , где Ho

Страницы