Составители:
Рубрика:
поворот направления x и y. Аналогично можно ввести девять компонент тензора
деформации в трехмерном случае
e
ij
=du
i
/dx
j
Необходимо отметить, что простой поворот тела при таком описании дает
ненулевые компоненты тензора. В двумерном случае, например, тензор будет иметь вид
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
ϕ
ϕ
.
Однако, поскольку любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма
симметричного
e
ij
s
и антисимметричного e
ij
as
тензоров, то
e
ij
= e
ij
s
+e
ij
as
=
ε
ij
+
ω
ij
;
ε
ij
=(e
ij
+e
ji
)/2;
ω
ij
=(e
ij
–e
ji
)/2
Симметричная часть этого тензора, т.e.
e
ij
s
описывает деформацию и полностью
совпадает с ранее введенным другим способом тензором
σ
ij
. Антисимметричная часть
e
ij
as
=
ω
ij
описывает поворот тела на некоторый угол. Двумерный чертеж,
соответствующий деформации совместно с поворотом, показан на рис.14.
Любая точка в твердом теле может быть задана с помощью трех ортогональных
единичных векторов
f, g, h следующим образом: до деформации r = x⋅f+y⋅g+z⋅ħ , после
деформации
r′ = x⋅f′+y⋅g′+z⋅h′ , так что вектор смещения точки
ρ
= r′–r можно записать
в виде
ρ
= u⋅f+v⋅g+w⋅h, где
u=
σ
xx
x+
σ
xy
y+
σ
xz
z
v=
σ
yx
x+
σ
yy
y+
σ
yz
z
w=
σ
xz
x+
σ
yz
y+
σ
zz
z
или
u
i
=
σ
ij
x
j
Это выражение показывает, что
σ
ij
действительно есть тензор второго ранга, поскольку
связывает между собой компоненты двух векторов
ρ
и r. Поскольку тензор
σ
ij
есть
симметричная часть
е
ij
=(du
i
/dx
j
), то
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
i
j
j
i
ij
du
du
dx
du
e
2
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
