Физика фононов. Карпов С.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

σ
ij
=C
ijkl
ε
kl
;
ε
kl
=1/2[(du
k
/dx
l
)+(du
l
/dx
k
)]
(d
σ
ij
/dx
j
)=C
ijkl
d/dx
i
[1/2[(du
k
/dx
l
)+(du
l
/dx
k
)]]
Уравнения движения тогда будут выглядеть так:
(d
σ
ij
/dx
j
)=C
ijkl
(d
2
u
l
/dx
i
dx
j
).
Здесь необходимо иметь в виду суммирование в правой части по индексам
j,k,l. Это волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн
в анизотропной среде, называется уравнением Кристофеля.
В частном случае кубического кристалла это уравнение можно записать для
компоненты u
1
=u, принимая во внимание вид тензор упругости.
ε
xx
=|C
11
σ
xx
+C
12
σ
yy
+C
13
σ
zz
|+C
14
σ
yz
+C
15
σ
xz
+C
16
σ
xy
ε
yy
=|C
21
σ
xx
+C
22
σ
yy
+C
23
σ
zz
|+C
24
σ
yz
+C
25
σ
xz
+C
26
σ
xy
ε
zz
=|C
31
σ
xx
+C
32
σ
yy
+C
33
σ
zz
|+C
34
σ
yz
+C
35
σ
xz
+C
36
σ
xy
ε
yz
=C
41
σ
xx
+C
42
σ
yy
+C
43
σ
zz
+|C
44
σ
yz
|+C
45
σ
xz
+C
46
σ
xy
ε
zx
=C
51
σ
xx
+C
52
σ
yy
+C
53
σ
zz
+C
54
σ
yz
+|C
55
σ
xz
|+C
56
σ
xy
ε
xy
=C
61
σ
xx
+C
62
σ
yy
+C
63
σ
zz
+C
64
σ
yz
+C
65
σ
xz
+|C
66
σ
xy
|
В рамочку взяты отличные от нуля (для кубического кристалла) компоненты
тензора упругости, причем связь между отдельными компонентами следующая:
C
11
=C
22
=C
33
; C
44
=C
55
=C
66
; C
12
=C
13
=C
23
. Уравнения движения среды можно
непосредственно получить из * :
ρ
(d
2
u/dt
2
)=C
11
(d
σ
xx
/dx)+C
12
[(d
σ
yx
/dx)+(d
σ
zz
/dx)]+2C
44
[(d
σ
xy
/dy)+(d
σ
xz
/dz)]
Поскольку
σ
xx
=du/dx;
σ
xy
=1/2[(dv/dx)+(du/dy)];
σ
xy
=1/2[(dw/dx)+(du/dy)]; то
ρ
(d
2
u/dt
2
)=C
11
(d
2
u/dx
2
)+C
44
[(d
2
u/dy
2
)+(d
2
u/dz
2
)]+(C
12
+C
44
)[(d
2
v/dxdy)+(d
2
w/dxdz)]

Страницы