Физика фононов. Карпов С.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

деформации твердого тела, выполненная работа идет на увеличение свободной энергии
деформированного кристалла и должна выражаться через величину деформации
ε
ij
и
упругие постоянные c
ijkl
.
Рассмотрим малый куб кристалла с единичным ребром, на который действуют
компоненты механического напряжения
σ
ij
. Если в рассматриваемом кубе возникает
только деформация сжатия., т.е. компоненты деформации
ε
xx
,
ε
yy
,
ε
zz
изменяются
соответственно на
δε
xx
,
δε
yy
,
δε
zz,
, то работа производится только нормальными
компонентами напряжений и поэтому равна:
δ
W
1
=
σ
xx
δε
xx
+
σ
yy
δε
yy
+
σ
zz
δε
zz
Если же рассматриваемый куб претерпевает и деформацию сдвига, то
противоположные грани куба смещаются в противоположных направлениях на
величину
δε
xy
,
δε
xz
и
δε
yz
, а компонента силы, действующая на грани равняется
σ
xy
,
σ
xz
и
σ
yz
, так что работа этих сил равна:
δ
W
2
=
σ
xy
δε
xy
+
σ
xz
δε
xz
+
σ
yz
δε
yz
.
В итоге полная запасенная энергия деформации (или выполненная работа) на
единицу объема в тензорной свернутой записи равна:
δ
W =
σ
ij
δε
ij
i, j =1,2,3;
δ
W =
σ
k
δε
k
k=1,2,3,4,5,6.
Если выполняется закон Гука, это уравнение принимает вид:
δ
W = c
ijkl
ε
ij
δε
kl
или
δ
W =c
mn
ε
n
δε
m.
Следовательно,
kl
lk
lkl
k
c
dd
Wd
иc
d
dW
==
εε
ε
ε
2
поскольку W есть функция состояния тела, определяемого компонентами деформации,
то порядок дифференцирования не имеет значения, так что левая сторона соотношения
симметрична по перестановке индексов k
↔
l. Поэтому c
kl
=c
lk
и, разумеется, s
kl
=s
lk
, и
благодаря симметричности матриц число независимых констант жесткости и
податливости уменьшается до 21.
2.4
Упругие волны в кристалле
Случайные флюктуации деформации в кристалле приводят к появлению
напряжений, вызывающих распространение деформаций в среде. Если
ρ
– плотность
кристалла, и на элементарный объем
δ
x
δ
y
δ
z действуют силы, выраженные через
напряжения
σ
ij
, то можно написать уравнения движения среды вдоль направления x (см.

Страницы