Физика фононов. Карпов С.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

тензор деформации симметричные тензоры (т.е. инвариантны относительно
перестановки значков), компоненты тензора упругих постоянных также инвариантны
относительно перестановок двух пар индексов i
⇔
j и k
⇔
l , так что из 81 компонент
независимыми остаются только 36. Физический смысл отдельных компонент можно
понять, предполагая, что на кристалл действуют различные простые напряжения. При
приложении чистого сдвигового напряжения
σ
12
=
σ
21
(
σ
12
не может быть в отсутствие
объемных моментов приложено без
σ
21
) элемент
ε
11
тензора деформации был бы равен
(здесь использована замена x
→
1, y
→
2, z
→
3):
ε
11
=s
1112
σ
12
+s
1121
σ
21
=(s
1112
+s
1121
)
σ
12
.
Все сказанное для тензора модулей упругости s
ijkl
справедливо также и для тензора
упругих постоянных c
klij
.
Благодаря симметричности s
ijkl
и c
klij
по первым двум и последним двум индексам,
можно применить более короткую запись с использованием так называемых матричных
обозначений. В этой записи пары первых и последних индексов заменяются одним
индексом, пробегающим значения от 1 до 6 по следующим правилам:
Тензорные обозначения 11 22 33 23,32 31,13 12,21
Матричные обозначения 1 2 3 4 5 6.
При этом для тензора упругой податливости s
klij
вводятся множители 2 и 4 следующим
образом:
s
ijkl
= s
mn
при m,n=1,2,3
2s
ijkl
= s
mn
при m,n=4,5,6
4s
ijkl
= s
mn
при и m и n=4,5,6.
Для тензора упругих постоянных c
ijkl
множители 2 и 4 вводить не нужно, т.е. всегда
c
ijkl
= c
mn
.
Тензор механических напряжений и деформаций в матричной записи выглядит так:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
4
2
1
2
5
2
1
6
2
1
1
333231
232221
131211
3
42
561
333231
232221
131211
;
ε
εε
εεε
εεε
εεε
εεε
σ
σσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
Закон Гука, следовательно, более кратко можно записать следующим образом:
ε
I
= s
ij
σ
j
σ
I
= c
ij
ε
j
i, j=1,2,3,4,5,6.
Таблицы |s
mn
| и |с
mn
| представляют собой квадратные матрицы 6х6 и, разумеется, не
являются, несмотря на наличие двух индексов, тензорами II ранга. Поскольку матрицы
коэффициентов |s
mn
| и |с
mn
| симметричны, число назависимых упругих констант может
быть только 21 (6 диагональных элементов и (36–6)/2=15 недиагональных).Это можно
показать, рассматривая энергию деформированного тела. Действительно, при упругой

Страницы