Физика фононов. Карпов С.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Система уравнений, описывающая движение N частиц цепочки, состоит из N
дифференциальных уравнений вида
)2(
11 +−
••
−−=
nnn
n
UUUUm
β
Постановка решения в виде функции Блоха
)()( kantikaniti
n
eAeAeU
+
⋅=⋅=
ωω
сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому
уравнению, характеризующему связь между частотой
ω
и волновым числом k=(2
π
/
λ
)
для возможных собственных возбуждений системы:
[
]
ikanakniakniti
o
kanti
o
eeeeAemA 2
)1()1()(2
−+=−
+−+
ωω
βω
()
2
sin
4
;
2
sin4;
222/2/2
ka
m
ka
meem
ikaika
β
ωβωβω
±==−=−
−
Дисперсионная зависимость
ω
(k) периодична, таким образом достаточно рассмотреть
область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –
(
π
/a)<k<+(
π
/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по
волновому вектору k на целочисленную величину (2
π
/a), физически характеризуют
одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое
же отклонение U
n+m
, как и заданная U
n
для колебания с волновым вектором k
расположена на расстоянии ma=
λ
:
λ
π
π
ωω
22
;1;
))(()(
==≡===
++
+
+
am
keeAUUeA
ikammnkati
omnn
kanti
o
Волны с частотами
ω
>
ω
max
будут распространяться через цепочку с затуханием,
поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1,
т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+i
α
:

Страницы