Физика фононов. Карпов С.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

sin(κa/2)=sin[(k+iχ)a/2]=sin(ka/2)⋅ch(χa/2)+i⋅cos(ka/2)⋅sh(χa/2); поскольку sin(κa/2),
определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть
этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=π/2.
Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение
частиц в цепочке должно иметь вид: un=A⋅exp[i(ω⋅t+an/πa)]⋅exp(–
χan). Это показано на
рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по
порядку увеличения частоты колебаний.
Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис.20. Для малых
волновых векторов k≈0 (λ→∞) движение частиц происходит в фазе с частотами,
пропорциональными величине k (ka<<1):
m
aVkV
m
ak
ka
m
ka
m
ββββ
ω
==⋅=⋅≈= ;
2
4
2
sin
4
где V=a(
β
/m)
1/2
– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m.
Действительно, V
звука
=(C
11
/
ρ
)
1/2
, где C
11
– упругая постоянная
a
m
aa
aUU
UU
C
nn
nn
xx
xx
==
−
−
==
−
−
ρβ
β
ε
σ
;
/)(
)(
1
1
11
m
a
am
a
V
звука
ββ
==
/
.
Таким образом, при малых k
ω
=kV
звука
. Фазовая скорость V
ф
=
ω
/k и групповая скорость
V
гр
=d
ω
/dk в этом случае равны. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=
π
/a;
λ
=2a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с
частотой
ω
=
ω
max
=(4
π
/M)
1/2
. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая
скорость равна нулю
0
2
cos
2
/
max
=⋅==
= ak
гр
kaa
dk
d
V
π
ω
ω
При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать
граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или
свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана),
когда цепочка представляется замкнутой:

Страницы