Составители:
Рубрика:
и на ее границе (k=
π
/a). В этом случае колебания цепочки представляют собой стоячую
волну.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет
бесконечное число уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий
вид:
)()(
)()(
2212212
12
2
122122
2
1
+++
+
••
+−
••
−−−−=
−−−−=
nnnn
n
nnnn
n
UUUUUm
UUUUUm
ββ
ββ
Решение этой системы ищем в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде
периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на
фазовый множитель expi(
k,r
n
).
])12(
212
]2[
12
anktip
n
ankti
n
eAUeAU
′
++
+
′
+
==
ωω
где A
1
и A
2
– амплитуды смещений частиц массы m
1
и m
2
,
ω
– частота колебаний, а k –
волновой вектор возбуждения.
Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений
приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно
неизвестных амплитуд колебаний А
1
и А
2
. Чтобы система имела нетривиальное
(ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Это дает связь
между частотой возбуждения
ω
и волновым вектором k, которая, как известно, носит
название дисперсионного соотношения:
A
1
(m
1
ω
2
–2
β
)+A
2
2
β
coska′=0
A
1
2
β
coska′+A
2
(m2
ω
2
–2
β
)=0
21
2
2121
2
2,1
)
2
(sin4
1111
mm
ak
mmmm
′
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+±
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
βω
.
Поскольку 1–2sin
2
ka′=coska, дисперсионное соотношение можно записать так:
]cos2)[(
21
2
2
2
121
21
2
2,1
kammmmmm
mm
++±+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
β
ω
Если частота
ω
удовлетворяет дисперсионному уравнению, можно найти
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
