Фононы в нанокристаллах. Карпов С.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

0
Average
dispersion
GaAs AlAs
(GaAs) (AlAs)
88
00.5 0.511
00.51
100
200
300
400
3
2
1
2
1
3
Al Ga
As
q (units
/a )
π
0
Ω
(cm )
-1
4n
πλ
/
4n
π
λ
/
q (units
/d)
π
Atomic
dis
p
lacements
Рис. 13. Дисперсионные кривые (сплошные линии) для объемных GaAs (справа) и AlAs (посередине).
Наблюдается сильное перекрытие частот их акустических мод, в отличие от оптических мод, для которых
перекрытие отсутствует. Правая часть рисунка показывает сложенные акустические и оптические ветви в
сверхрешетке (GaAs)
8
(AlAs)
8
и атомные смещения для точек 1, 2, и 3 в оптической ветви кристалла AlAs, в
оптической ветви кристалла GaAs и в акустической сложенгной ветви сверхрешетки (AlAs)
8
/(GaAs)
8
.
Дисперсионные соотношения для сложенных акустических мод модно вычислить
в макроскопическом приближении, соответствующему так называемом упругому
пределу. Это справедливо для области частот, в которой дисперсия составляющих
объемных материалов может считаться линейной. Для волн, распространяющихся вдоль
оси роста, средняя скорость длинноволновых сложенных мод дается выражением (5). Для
расчета полных дисперсионных соотношений, необходимо рассмотреть
упругие волны в
обеих средах, с одинаковой частотой
ω. Компоненты волнового вектора q,
перпендикулярного оси роста (q
x
, q
y
), должны быть равны в обоих средах, как и в случае
электронных волновых функций. Компоненты же
q вдоль z (q
z
) должны изменяться при
переходе из одной среды в другую, чтобы разным скоростям звука соответствовало одно
и то же значение
ω. Сверхрешетка как целое обладает трансляционной симметрией вдоль
направления
z с векторами трансляций, имеющими длину nd (п = ±1, ±2, ±3,...и т.д.. .).
Поэтому смещение атомов в каждом слое можно выразить в форме блоховской волны.
Пусть в средах А и В существует по две волны с одинаковой частотой
ω и
волновыми векторами ±(
q
x
, q
y
, q
zA
), ±(q
x
, q
y
, q
zB
), соответственно. Неизвестными являются
четыре амплитуды этих волн. Для произвольного направления распространения надо
учесть все три возможных поляризации для акустических волн, т.е. всего имеется 12
неизвестных амплитудных коэффициентов, которые надо найти из граничных условий.
На интерфейсе должны быть непрерывны смещения (что дает три условия), а также
перпендикулярные к интерфейсу компоненты деформации,
которые выражаются через
градиенты смещений (три дополнительных условия). В результате получается секулярное
уравнение размерности 12х12, что приводит к дисперсионным соотношениям для
ω(q
x
, q
y
,
k
).
Секулярное уравнение в общем случае решается численными методами. В в
случаях высокой симметрии (например, при
q
x
= q
y
= 0 или q
y
= k = 0) в сверхрешетке
продольные и поперечные моды не смешиваются, и система уравнений упрощается.

Страницы