Составители:
4 5
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРОЯВЛЯЕМЫХ СВОЙСТВ
МАТЕРИАЛА
1.1. Основные характеристики напряжённо-деформированного
состояния конструкции
Целью расчёта и проектирования конструкций любой сложно-
сти является обеспечение прочности и жёсткости этих конструкций
при минимальных расходах материала, поэтому при расчёте элемен-
тов конструкций желательно получить наиболее точное решение по-
ставленной задачи. Это возможно
при учёте различных свойств ма-
териала конструкции для описания напряжённо-деформированного
состояния конструкции и точного решения уравнений равновесия.
Однако во многих случаях такая задача оказывается практически не-
выполнимой, поэтому на практике прибегают к построению мате-
матических моделей, основанных на определённых гипотезах дефор-
мирования элементов конструкций, и приближённым методам рас-
чёта [3, 4, 11, 14, 19].
Пусть
на трёхмерное тело, закреплённое определённым образом
(невозможно смещение тела как единого целого), действуют нагрузки
n
PPP ,,,
21
(рис. 1.1). Действующие внешние силы деформируют тело.
Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Каждая
точка
A
, имеющая координаты
zyx ,,
до деформации, в результатете
деформации перемещается в новое положение
A
c
с координатами
wz
v
yu
x
,,
.
Приращения
wvu ,,
координат точки А называются компонента-
ми перемещений этой точки вдоль осей
OzO
y
O
x
,,
. Компоненты пере-
мещений зависят от координат точки
),,( zy
x
u
,
),,( zy
x
v
,
),,( zy
x
w
и являются непрерывными функциями.
В результате перемещений точек возникают деформации: относи-
тельные удлинения отрезков и изменения угловых величин.
y
z
x
A
A
c
1
P
&
2
P
&
n
P
Рис. 1.1. Перемещение точек тела
Относительные удлинения бесконечно малых отрезков
dzd
y
d
x
,,
,
которые до деформации были параллельны осям координат
OzO
y
O
x
,,
,
равны деформациям удлинения –
zyx
ε,ε,ε
(продольные или линейные
деформации). Изменения первоначально прямых углов между линей-
ными элементами
dzd
y
d
x
,,
в соответствующих плоскостях равны де-
формациям сдвига
zxyzxy
γ,γ,γ
(рис. 1.2, а, б).
Шести величин:
zxyzxуzyx
J
J
J
H
H
H
,,,,,
– достаточно для того, что-
бы определить линейные и угловые деформации в данной точке тела в
любых направлениях. Эти величины называются компонентами дефор-
маций.
y
z
x
A
A
c
B
B’
ds
*
ds
u
v
w
а
y
x
dy
x
v
w
w
dx
y
u
w
w
dx
x
H1
dy
y
H1
u
v
б
Рис. 1.2. Изменение линейных и угловых величин в результате
деформирования
Деформации выражаются через перемещения геометрическими
соотношениями, в простейшем случае – соотношения Коши [3]:
