Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

44
В № 151 - 160 разложить заданные функции в степенной ряд, используя
табличные разложения в ряд и арифметические действия над рядами; ука-
зать интервалы сходимости полученных рядов:
№ 151. хе
-х
№ 152.
x
1
1
ln
х
1
−
№ 153. х
2
Sinx
№ 154. xCos2x
№ 155. ln
х
1
х1
−
+
№ 156. хе
-2х
№ 157. ln
3
х3
+
№ 158. 0,5(е
х
+е
-х
)
№ 159.
1
х
х
−
№ 160.
3
3
х
1
+
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Для приближенных вычислений применяются разложения функций в
ряды.
Пусть неизвестное число А разложено в ряд:
А=а
1
+ а
2
+ а
3
+ а
4
+…+ а
n
+… ,
Где а
1
, а
2
,а
3
,…- легко вычисляемые числа.
Полагая А=а
1
+ а
2
+ а
3
+ а
4
+…+ а
n
, мы допускаем погрешность, равную
а
n+1
+ а
n+2
+… . Погрешность станет сколь угодно малой для достаточно
больших n. Поэтому А можно вычислить с любой наперед заданной степе-
нью точности.
Если рассматриваемый ряд знакочередующийся с монотонно убы-
вающими по абсолютной величине членами, то остаток имеет знак своего
первого члена и по абсолютной величине меньше его.
Используя разложение в ряд можно:
• Приближенно вычислять значение функции;
• Находить приближенные значения «неберущихся интегралов;
• Находить приближенные решения дифференциальных уравне-
ний и т. д.
Пример 1. Вычислить Cos18
0
с точностью 0,001.
Решение
Переведем 18
0
=
180
18
⋅
π
=0,3142.
Разложим Cos18
0
=Cos0,3142 в ряд:
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         В № 151 - 160 разложить заданные функции в степенной ряд, используя
         табличные разложения в ряд и арифметические действия над рядами; ука-
         зать интервалы сходимости полученных рядов:
         № 151. хе-х                                    3+ х
                 1     1                      № 157. ln
         № 152. ln                                        3
                 х 1− x                       № 158. 0,5(ех+е-х)
         № 153. х2Sinx                                  х
         № 154. xCos2x                        № 159.
                                                             х −1
                   1+ х                                      3
         № 155. ln                                     № 160. 1+ х 3
                   1− х
         № 156. хе-2х

          ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

              Для приближенных вычислений применяются разложения функций в
         ряды.
              Пусть неизвестное число А разложено в ряд:
                                    А=а1+ а2+ а3+ а4+…+ аn+… ,
              Где а1, а2,а3,…- легко вычисляемые числа.
              Полагая А=а1+ а2+ а3+ а4+…+ аn, мы допускаем погрешность, равную
         аn+1+ аn+2+… . Погрешность станет сколь угодно малой для достаточно
         больших n. Поэтому А можно вычислить с любой наперед заданной степе-
         нью точности.
              Если рассматриваемый ряд знакочередующийся с монотонно убы-
         вающими по абсолютной величине членами, то остаток имеет знак своего
         первого члена и по абсолютной величине меньше его.
              Используя разложение в ряд можно:
                 • Приближенно вычислять значение функции;
                 • Находить приближенные значения «неберущихся интегралов;
                 • Находить приближенные решения дифференциальных уравне-
                    ний и т. д.

                Пример 1. Вычислить Cos180 с точностью 0,001.

                                              Решение
                                π ⋅ 18
              Переведем 180=           =0,3142.
                                180
              Разложим Cos180 =Cos0,3142 в ряд:
                         х2 х4              n х
                                                2n
              Cosx = 1 −   +   − ... + (−1)          + ...
                         2! 4!                (2n )!


                                                  44

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы