Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

43
рассматриваем двучлен х-3 как степенной ряд, сходящийся при любом
значении х; пользуясь биномиальным рядом, полагая в нем m= - 2, разла-
гаем в ряд
(х+1)
-2
=1-2x+ +−++−
−
−
1n1n32
nx)1(...х4x3 …
Умножая почленно этот ряд на х-3, получим искомый ряд для данной
функции:
2
)1х(
3х
+
−
= -3+7х-11х
2
+…+(-1)
n-1
(1- 4n)x
n-1
+… ,
который сходится к данной функции в интервале ( - 1, 1), поскольку в
этом интервале биномиальный ряд сходится к функции (1+х)
-2
.
Пример 8.
Разложить в ряд по степеням х функцию ln(1+3x+2x
2
).
Решение
Преобразуем данную функцию:
ln(1+3x+2x
2
)= ln(1+x)(1+2x)= ln(1+x)+ ln(1+2x).
Пишем ряды Маклорена для полученных слагаемых:
∑
∞
=
−
−=+
1
n
n
1n
n
х
)1()1xln(
, - 1<x≤1,
∑
∞
=
−
−=+
1n
nn
1n
n
х2
)1()1x2ln(
,
2
1
− <x≤
2
1
.
(второй ряд получен из первого путем замены х на 2х) и складывая их
почленно, имеем:
ln(1+3x+2x
2
)=
∑
∞
=
−
+−
1
n
n
n1n
n
х
)21()1( ,
2
1
− <x≤
2
1
.
ЗАДАЧИ
В № 141 - 150 разложить заданные функции в ряд Тейлора по степеням
(х-а) и указать интервалы сходимости полученных рядов:
№ 141. е
х
при а= - 2
№ 142.
х
при а=4
№ 143.
2
x
Cos при а=
2
№ 144. 2
х
при а=0
№ 145. х
4
-5х
3
+3х
2
+4 при а= - 1
№ 146.
3
х
при а=1
№ 147.
3
х
1
+
при а=3
№ 148. х
4
+2х
3
-5х
2
+2х+4 при а= - 3
№ 149. е
х
при а= - 4
№ 150. 3
х
при а=0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             рассматриваем двучлен х-3 как степенной ряд, сходящийся при любом
         значении х; пользуясь биномиальным рядом, полагая в нем m= - 2, разла-
         гаем в ряд
                                                                      n −1   n −1
                      (х+1)-2=1-2x+ 3x − 4х + ... + (−1)  nx + …
                                                        2       3

             Умножая почленно этот ряд на х-3, получим искомый ряд для данной
         функции:
                                  х −3
                                              = -3+7х-11х2+…+(-1)n-1(1- 4n)xn-1+… ,
                              ( х + 1)    2

             который сходится к данной функции в интервале ( - 1, 1), поскольку в
         этом интервале биномиальный ряд сходится к функции (1+х)-2.
               Пример 8.
            Разложить в ряд по степеням х функцию ln(1+3x+2x2).

                                         Решение
              Преобразуем данную функцию:
                        ln(1+3x+2x2)= ln(1+x)(1+2x)= ln(1+x)+ ln(1+2x).
              Пишем ряды Маклорена для полученных слагаемых:
                              ∞        хnn −1
              ln( x + 1) = ∑ (−1)          , - 1

Страницы