Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 41 стр.

                       4           1      1    ∞                      ∞
                                =     +      = ∑ ( −1) n −1 x n −1 + ∑ 3n −1 x n −1 =
               (1 + х )(1 − 3х ) 1 + х 1 − 3х n =1                   n =1

                  ∑ [( −1) n −1 + 3n −1 ]⋅ x n −1
                  ∞
              =
                  n =1
                                                                                1
              Ряд (1) сходится при |x|<1, ряд (2) – при |x|< , поэтому ряд (3) также
                                                                                3
                               1                                     1 1
         сходится при |x|< , т. е. в интервале (- ,                      ).
                               3                                     3 3
                Пример 4. Разложить в ряд по степеням х функцию                         1          .
                                                                                    (1 + х )   2



                                                        Решение
              Данная функция является производной функции р(х)= - 1 , для ко-
                                                                                    1− х
         торой при |x|<1
                         1
                      −      = −(1 − х + х 2 − х 3 + х 4 − ... + (−1) n −1 х n −1 + ...) =
                        1+ х
                         = −1 + х − х 2 + х 3 − х 4 + ... + ( −1) n х n −1 + ...
              Почленно дифференцируя этот ряд, получаем
                                    ′
                              1                                                 n n −1
                         −         = (−1 + х − х + х − х + ... + ( −1) х + ...)′ ,
                                                     2     3     4
                          1+ х 
              т. е.
                        1                                                      n −1    n −1
                               = 1 − 2 х + 3 х 2
                                                 − 4 х 3
                                                         + 5 х 4
                                                                 − ... + ( −1)      nx      + ...
                    (1 + х ) 2

                                              1             ∞
                                                        =   ∑ (−1) n −1 nx n −1 .
                                 (1 + х )  n =1
                                                    2

                Пример 5. Разложить в ряд по степеням х функцию (1+х)ех.

                                         Решение
             Рассматриваем двучлен (1+х) как степенной ряд, у которого коэффи-
         циенты всех членов, кроме двух первых, равны нулю и который сходится
         на всей числовой оси. Умножая почленно этот ряд на ряд Маклорена для
         функции ех, который также сходится на всей числовой оси, получим иско-
         мое разложение в ряд данной функции:




                                                                41

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com