Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

40
записывая в нем
3
р
вместо х:
()
()
+
++
+
++⋅=
=
−
⋅=
−
⋅=
−
=
−
+
...
3
p
...
3
p
3
p
3
p
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
x1
1
)x(f
1n32
3
p
3
2x
или
+
+
++
+
+
+
+
+
+⋅=
−
−
...
3
2x
...
3
2x
3
2x
3
2x
1
3
1
x1
1
1n32
, т. е.
...
3
)2x(
...
3
)2x(
3
)2x(
3
2x
3
1
x1
1
n
1n
4
3
3
2
2
+
+
++
+
+
+
+
+
+=
−
−
.
Ряд сходится при
3
p
<1, т. е. |p|<3, или при
- 3<p<3
- 3<x+2<3
- 5<x<1.
Следовательно, полученный ряд сходится к данной функции при
)
1
,
5
(
х
−
.
Пример 3. Разложить в ряд по степеням х функцию
)х31)(х1(
4
−+
.
Решение
Разлагая данную функцию в сумму элементарных дробей, получаем
х31
1
х1
1
)х31)(х1(
4
−
+
+
=
−+
.
Так как
...х)1(...хххх1
х
1
1
1n1n432
+−+−+−+−=
+
−−
(1)
...)х3(...)х3()х3()х3(х31
х
3
1
1
1n432
++−++++=
−
−
(2)
Суммируя почленно два последних ряда, получим
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                   р
              записывая в нем         вместо х:
                                   3
                                        1    1    1          1 1
                             f ( x) =      = ⋅             =  ⋅
                                      1 − x 3 (1 − x +3 2 ) 3 1 − p ( )
                                                                    =
                                                                         3
                                                               n −1
                              1  p p p                         
                                           2     3
                                                          p
                             = ⋅ 1 + +   +   + ... +   + ...
                              3  3  3   3            3      
              или
                                                                  n −1
               1  x + 2  x + 2  x + 2                                
                                  2           3
           1                                             x + 2
              = ⋅ 1 +   +       +         + ... +           + ... , т. е.
         1 − x 3     3   3   3                     3              
           1   1 x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2)3         ( x + 2) n −1
              = + 2 +            +          + ... +               + ... .
         1− x 3      3     33
                                      3 4
                                                         3 n

                                    p
              Ряд сходится при        <1, т. е. |p|<3, или при
                                    3
                                              - 3

Страницы