Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

38
+
+
+
+
+
+
+
+
+⋅−=
=−
⋅
+
−−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−−=
+
...
2
)2x(
...
2
)2x(
2
)2x(
2
2x
1
2
1
...
!n2
)2х(!n
....
!32
)2х(!3
!22
)2х(!2
!12
)2х(!1
2
1
х
1
n
n
3
3
2
2
1n
n
4
3
3
2
2
Исследуем сходимость полученного степенного ряда по признаку Да-
ламбера:
u
n
=
n
n
2
)2х( +
, u
n+1=
1n
1n
2
)2х(
+
+
+
, тогда
2
2x
)2x(2
2)2х(
lim
u
u
lim
n1n
n1n
n
n
1n
n
+
=
+
+
=
+
+
∞→
+
∞→
<1, если
-2<x+2<2
-4<x<0.
Интервалом сходимости является интервал (-4,0).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [-4,0] .
Подставляя в ряд х= - 4, затем х=0 получим числовые ряды:
1-1+1-1+… и 1+1+1+1+…,
которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие
сходимости ряда
0alim
n
n
=
∞→
.
Следовательно, в интервале (- 4, 0) полученный ряд сходится именно к
данной функции.
Использование табличных разложений
Справедливы разложения элементарных функций в ряд Маклорена:
1.
...
!
n
х
...
!
3
х
!
2
х
!
1
х
1е
n32
х
++++++=
,
)
,
(
х
∈
2.
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
xSinx
1n2
1n
53
+
−
−+−+−=
−
−
,
)
,
(
х
∈
3.
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
,
)
,
(
х
∈
4.
...
1
n
2
х
...
5
х
3
х
xArctgx
1n253
+
−
+−+−=
−
,
)
,
(
х
∈
Полагая х=1 получим ряд Лейбница:
...
1
n
2
1
)1(...
5
1
3
1
1
4
1n
+
−
−+−+−=
π
−
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
          1   1 1!( х + 2) 2!( х + 2) 2 3!( х + 2)3         n!( х + 2) n
            =− − 2        −            −            − .... − n +1        − ... =
          х   2   2 ⋅ 1!     23 ⋅ 2!      2 4 ⋅ 3!           2 ⋅ n!
             1  x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2)3        ( x + 2) n       
          = − ⋅ 1 +   +         +           + ...             + ...
             2      2     22         23               2n           
             Исследуем сходимость полученного степенного ряда по признаку Да-
         ламбера:
                                                               n +1
                                 (х + 2) n
                             un=           , un+1= ( х + 2)          , тогда
                                      n                    n +1
                                    2                    2
                                u n +1        ( х + 2) n +1 2 n   x+2
                            lim        = lim n +1               =     <1, если
                           n →∞ u n      n →∞ 2     ( x + 2)  n    2
                                            -2

Страницы