Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

36
Этот ряд расходится, так как каждый его член больше соответствую-
щего члена расходящегося гармонического ряда
∑
∞
=
+
1
n
1n
1
, т. е.
1n
1
)15(n
1
n
+
>
+
−
.
Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуот-
крытый промежуток [- 7, 3).
ЗАДАЧИ
В № 131 - 140 Найти области сходимости рядов:
№ 131.
∑
∞
=
+
1
n
4
n
n
)5x(
№ 132.
∑
∞
=
−
+
1
n
n
1n
7n
)2x(
№ 133.
∑
∞
=
+
−
1
n
n
1nn
)2x(
№ 134.
∑
∞
=
⋅
−
1n
n3
n2
3n
)4x(
№ 135.
∑
∞
=1n
2
n
)!n(n
x)!n2(
№ 136.
n
n2
1
n
n
2
x
n
1
1
2
⋅
−
∑
∞
=
№ 137.
n2
1
n
n
x
)!n2(
!n2
∑
∞
=
№ 138.
∑
∞
=
+
1
n
2
n3
n
)8x(
№ 139.
∑
=
−
1
n
1n
x!n
№ 140.
∑
∞
=
−
1
n
n2n
x)2(
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
Пусть функция f(x) в некотором промежутке имеет производные всех
порядков. Тогда для всех значений х в этом промежутке имеет место раз-
ложение
...)ax(
!
n
)a(f
...)ax(
!
2
)a(f
)ax(
!
1
)a(f
)a(f)x(f
n
)n(
2
+−++−
′′
+−
′
+=
Такой степенной ряд, порожденный функцией f(x), независимо от то-
го, сходится ли он и имеет ли своей суммой f(x), - называется рядом Тей-
лора для функции f(x).
Частный случай ряда Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена
и имеет вид:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             Этот ряд расходится, так как каждый его член больше соответствую-
                                                                ∞
         щего члена расходящегося гармонического ряда ∑ 1 , т. е.
                                                               n =1n + 1
               1                1
                          >        .
          n (5− n + 1)        n +1
             Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуот-
         крытый промежуток [- 7, 3).

                                                    ЗАДАЧИ

         В № 131 - 140 Найти области сходимости рядов:
                    ∞                                                      ∞
         № 131. ∑ (x + 5)
                                  n
                                                                           2n n! 2n
                      4
                              n
                                                               № 137. ∑           x
                   n =1                                                   ( 2 n )!
                                                                      n =1
                    ∞     ( x + 2) n −1                                    ∞
         № 132.    ∑                                           № 138.      ∑
                                                                                 ( x + 8)3n
                   n =1       n7 n                                                  n2
                                                                          n =1
                    ∞
         № 133. ∑ (x − 2)
                                  n
                                                                           ∞
                   n =1 n n + 1                                № 139.      ∑ n! x n −1
                    ∞ ( x − 4) 2 n                                        n =1
         № 134.    ∑                                           № 140.
                                                                           ∞
                   n =1    n ⋅3
                              3   n
                                                                           ∑ (−2) n x 2n
                    ∞                                                     n =1
                          ( 2n )! x n
         № 135.    ∑
                   n =1    n ( n!) 2
                    ∞             n2
         № 136. ∑ 1 − 1                 x 2n
                                        ⋅
                n =1   n                  2n


                   РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД

             Пусть функция f(x) в некотором промежутке имеет производные всех
         порядков. Тогда для всех значений х в этом промежутке имеет место раз-
         ложение
                                   f ′(a )           f ′′(a )                   f ( n ) (a )
                f ( x ) = f (a ) +         (x − a) +          ( x − a ) + ... +
                                                                       2
                                                                                             ( x − a ) n + ...
                                      1!                2!                           n!
              Такой степенной ряд, порожденный функцией f(x), независимо от то-
         го, сходится ли он и имеет ли своей суммой f(x), - называется рядом Тей-
         лора для функции f(x).
              Частный случай ряда Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена
         и имеет вид:


                                                          36

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы