Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

34
Применим признак Даламбера.
u
n
=
3
1n2
n
)2х(
−
−
, u
n+1=
3
1)1n(2
)1n(
)2х(
+
−
−
+
, тогда
2
3
2
n
1n23
31n2
n
1n23
31)1n(2
n
n
1n
n
)2x(
1n
n
)2x(lim
)2x()1n(
n)2х(
lim
)2x()1n(
n)2х(
lim
u
u
lim
−=
+
−=
=
−+
−
=
−+
−
=
∞→
−
+
∞→
−
−
+
∞→
+
∞→
Так как при (х-2)
2
<1 или |x-2|<1 ряд сходится, а при (х-2)
2
>1 или |x-
2|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
данного ряда R=1. Неравенство |x-2|<1 равносильно неравенствам
-1<x-2<1
1<x<3.
Интервалом сходимости является интервал (1,3).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [1,3].
При х=3 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
−
=
−
1
n
3
1
n
3
1n2
n
1
n
)23(
. Ряд сходится (ряд Ди-
рихле, р=3>1).
При х=1 получим ряд
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
−=
−
=
−
1n
3
1n
3
1n2
1n
3
1n2
n
1
n
)1(
n
)21(
. Этот ряд
также сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда явля-
ется замкнутый промежуток [1,3].
Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда
∑
∞
=
+
1n
n2
n
)3х(
.
Решение.
Применяем признак Даламбера.
u
n
=
n
)3х(
n2
+
, u
n+1=
)1n(
)3х(
2n2
+
+
+
, тогда
22
n
n2
2n2
n
n
1n
n
)3x(
1n
n
)3x(lim
)3x)(1n(
n)3х(
lim
u
u
lim +=
+
+=
++
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
Так как при (х+3)
2
<1 или |x+3|<1 ряд сходится, а при (х+3)
2
>1 или
|x+3|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
данного ряда R=1. Неравенство |x+3|<1 равносильно неравенствам
- 1<x+3<1
- 4<x< -2.
Интервалом сходимости является интервал (- 4, - 2).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 4, - 2].
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              Применим признак Даламбера.
                                     ( х − 2) 2n −1                    2( n +1) −1
                               un=                    , un+1= ( х − 2)             , тогда
                                          n3                      ( n + 1)  3

              u n +1          ( х − 2) 2( n +1) −1 n 3            ( х − 2) 2 n +1 n 3
          lim        = lim                             = lim                            =
         n →∞ u n      n → ∞ ( n + 1) 3 ( x − 2) 2 n −1 n → ∞ ( n + 1)3 ( x − 2) 2 n −1
                                     3
                         2n 
         = lim ( x − 2)        = ( x − 2)
                                            2
           n →∞          n + 1
             Так как при (х-2)2<1 или |x-2|<1 ряд сходится, а при (х-2)2>1 или |x-
         2|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
         данного ряда R=1. Неравенство |x-2|<1 равносильно неравенствам
                                           -11).
                                        (1 − 2) 2 n −1 ∞ (−1) 2 n −1
                                               ∞                          ∞ 1
              При х=1 получим ряд   ∑          3
                                                      = ∑      3
                                                                     = − ∑     3
                                                                                 . Этот ряд
                                    n =1     n          n =1 n           n =1n
         также сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда явля-
         ется замкнутый промежуток [1,3].
                                                                       ( х + 3) 2 n          ∞
                Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда ∑                .
                                                                   n =1     n
                                         Решение.
              Применяем признак Даламбера.
                                      ( х + 3) 2 n         ( х + 3) 2n + 2
                                  un=              , un+1=                 , тогда
                                           n                   (n + 1)
                    u n +1           ( х + 3) 2 n + 2 n                   2 n
                lim        = lim                          =  lim ( x + 3)       = ( x + 3) 2
               n →∞ u n      n → ∞ ( n + 1)( x + 3)   2 n   n →∞           n +1
              Так как при (х+3)2<1 или |x+3|<1 ряд сходится, а при (х+3)2>1 или
         |x+3|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
         данного ряда R=1. Неравенство |x+3|<1 равносильно неравенствам
                                           - 1

Страницы