Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 32 стр.

             Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется чис-
         ло R такое, что при |x-a|R расходится. Ин-
         тервал (а-R, a+R) в этом случае называется интервалом сходимости сте-
         пенного ряда.
             Отметим, что на концах интервала сходимости, т. е. при х= a±R, сте-
         пенной ряд может или сходится или расходится.
             Если числовой ряд сходится на всей числовой оси, полагают R=∞; ес-
         ли он сходится только при х=а, полагают, R=0. Степенной ряд сходится
         абсолютно и равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу
         сходимости.
             Существуют       различные     возможности      определения     радиуса
             сходимости степенного ряда. Радиус сходимости можно найти с
             помощью признака Даламбера, или признака Коши, или вычислить по
             одной из формул:
                                                            1
                                             R=                        (*)
                                                   lim      n   an
                                                   n →∞
                                                         an
                                            R= lim             , (**)
                                                  n → ∞ a n +1
              если соответствующий предел существует.

              Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по пра-
         вилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимости полу-
         ченного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых
         одновременно сходятся оба ряда.
              Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегри-
         ровать, а внутри интервала сходимости можно почленно дифференциро-
         вать.
                                                                               ∞
                Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда              ∑ 3n x n .
                                                                               n =1

                                       Решение
              В данном случае коэффициенты степенного ряда: аn=3n.
                                                        1
              Воспользуемся формулой R=                           и получим:
                                                  lim   n   an
                                               n →∞
                                               1                  1   1
                                      R=                    =        = .
                                           lim n 3n             lim 3 3
                                                                n →∞
                                           n →∞




                                                   32

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com