Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 30 стр.

                                  х 2 х3 х 4         xn
                               x+    +   +   + ... +    + ... = − ln(1 − x )
                                   2   3   4         n
              Этот ряд сходится в промежутке [ - 1, 1].
                                                      ∞        xn
              Пример 3. Найти сумму ряда ∑                              .
                                                                 n −1
                                                     n =1n ⋅ 2
                                       Решение.
              Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по
                         b                х
         формуле S =         , где b=1, q= ; получим
                        1− q              2
                                                                                ′
                                        х  2
                                                  х 3
                                                         х  4
                                                                  х  5        
                                    x +       +       +       +        + ... =
                                        2 ⋅ 2   3 ⋅ 4   4 ⋅ 8   5 ⋅ 16
                                                                             
                                          х х 2 х3 х5           1      2
                                    =1+    +   +  +   + ... =       =
                                          2 4    8 16         1 − x2 2 − х
              Принтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим:
                             х           2     3     5            x
                                   х   х     х     х                  2
                             ∫  2 4 8 16 
                                1 +   +     +     +     + ...  dx = ∫ 2 − xdx
                             0                                    0

                                 х2     х3    х4    х5
                              x+      +     +     +      + ... = −2 ln(2 − x )
                                 2 ⋅ 2 3 ⋅ 4 4 ⋅ 8 5 ⋅16
                                                                                                       xn
              Найдем область сходимости данного ряда. В данном случае un=                                       ,
                                                                                                     n 2 n −1
                  n +1`
         un+1= x          , тогда
              ( n + 1)2 n

                             u n +1          x n +1`n 2 n −1 1          n    1
                         lim        = lim                    =  x lim      =   x < 1,
                        n →∞ u n      n → ∞ ( n + 1) 2 n x n   2 n →∞ n + 1 2
                                        −2< x <2
              Таким образом, ряд сходится, если − 2 < x < 2 . Исследуем сходи-
         мость ряда на концах найденного промежутка.
                                             ∞       2n            ∞ 1
              При х=2 получим ряд           ∑           n −1
                                                               = 2 ∑ . Это гармонический расхо-
                                            n =1n ⋅ 2             n =1n
         дящийся ряд.
                                                 ∞   (− 2)n                 ∞   (− 1)n . Этот ряд также рас-
              При х= - 2 получим ряд             ∑           n −1
                                                                    = 2∑
                                                 n =1n ⋅ 2                  n =1   n
         ходится.
             Итак, область сходимости данного ряда − 2 < x < 2 .



                                                          30

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com