Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 29 стр.

         суммы ряда равна сумме производных членов ряда, иными словами ряд
         можно почленно дифференцировать.
                                                    ∞
                Пример 1. Найти сумму ряда          ∑ nx n −1, x < 1 .
                                                   n =1

                                                  Решение
                Заметим, что исходный ряд
                 ∞
                ∑ nx n −1 = 1 + 2 х + 3х 2 + ... + nx n −1 + ...
                n =1
                получается при почленном дифференцировании ряда
                 ∞
                ∑ x n −1 = 1 + х + х 2 + ... + x n −1 + ... ,   сумму которого можно вычис-
                n =1
         лить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
                 b
         (S =        ) со знаменателем |q|=|x|<1 (по условию). То есть для этого ряда
                1− q
                                                                      1
                                  1 + х + х 2 + ... + x n −1 + ... =
                                                                     1− x
         Остается продифференцировать последнее равенство:
                                                                           1
                              1 + 2 х + 3х 2 + ... + nx n −1 + ... =                  .
                                                                       (1 − х )   2

                                               xn   ∞
                Пример 2. Найти сумму ряда ∑ , x < 1 .
                                           n =1 n
                                         Решение.
                Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по
                          b
         формуле S =          , где b=1, q=x; получим
                         1− q
                                                                                ′
                                         х 2
                                                х 3
                                                       х 4
                                                                    x n        
                                    x +      +     +      + ... +       + ... =
                                          2     3      4            n
                                                                              
                                                                            1
                                    = 1 + х + х 2 + ... + x n −1 + ... =
                                                                         1− x
                Принтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим:

                                    (                             )
                              х                                x
                                                   n −1            1
                              ∫ 1 + х + х + ... + x + ... dx = ∫ 1 − xdx
                                         2

                              0                                0




                                                        29

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com