Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

27
штрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и
равномерно на всей оси.
Пример 7. Исследовать на равномерную сходимость ряд
∑
∞
=
−+
1n
22
2
n
)x4(n
Sinnx
.
Решение
Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как
(
)
0х4)х4(
n
22
2
n
≥−=−
на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то
2
222222
n
1
)x4(n
1
)x4(n
Sinnx
)x4(n
Sinnx
2
n
2
n
2
n
≤
−+
≤
−+
=
−+
.
Таким образом, неравенство
2
22
n
1
)x4(n
Sinnx
2
n
≤
−+
выполняется для всех n=1, 2, … и для всех х
∈
[-2,2]. Так как числовой ряд
∑
∞
=
1
n
2
n
1
сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный
ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].
ЗАДАЧИ
В № 101 - 110 для указанных функциональных рядов найти области схо-
димости:
№ 101.
∑
∞
=
1
n
n
х
n
№ 102.
∑
∞
=
1
n
2
n
Sinnx
№ 103.
∑
∞
=
1
n
nx
e
№ 104.
∑
∞
=
1
n
nx
2
n
№ 105.
∑
∞
=
+
1
n
2n
)x1(ln
№ 106.
∑
∞
=
1
n
n
х
!n
№ 107.
∑
∞
=
1
n
xln
n
№ 108.
∑
∞
=
1
n
n
х
1
№ 109.
∑
∞
=
1
n
2
n
n
xtg
№ 110.
∑
∞
=
1
n
n
n
xlg
В № 111 - 120 исследовать функциональные ряды на равномерную сходи-
мость на указанных интервалах:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         штрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и
         равномерно на всей оси.
              Пример 7. Исследовать на равномерную сходимость ряд
               ∞     Sinnx
                    ∑           .
                                             n
                    n =1n 2   + (4 − x 2 )       2

                                         Решение
               Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как
                                                               n
                                      (4 − х 2 ) 2 = 4 − х 2 ≥ 0          (               )n

               на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то
                                    Sinnx                      Sinnx                              1                      1 .
                                                     n
                                                         =                    n
                                                                                      ≤                      n
                                                                                                                     ≤
                      n 2 + (4 − x 2 ) 2 n 2 + (4 − x 2 )                         2       n 2 + (4 − x 2 )       2       n2
               Таким образом, неравенство
                                                               Sinnx                       1
                                                           2                  n
                                                                                      ≤
                                      n 2 + (4 − x 2 ) 2 n
         выполняется для всех n=1, 2, … и для всех х∈ [-2,2]. Так как числовой ряд
          ∞   1
          ∑     2
                     сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный
          n =1n
         ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].

                                                             ЗАДАЧИ
         В № 101 - 110 для указанных функциональных рядов найти области схо-
         димости:
                        ∞                                     ∞                                              ∞
                              n                                                                                      tg n x
         № 101.       ∑       n
                                                     № 105.   ∑ ln (1 + x )
                                                                      n               2
                                                                                               № 109.    ∑
                      n =1х
                                                                                                                2
                                                              n =1                                       n =1 n
                       ∞ Sinnx                                 ∞ n!                                       ∞ lg n x
         № 102.       ∑                              № 106.   ∑                                № 110.    ∑ n
                      n =1    n2                              n =1х
                                                                    n
                                                                                                         n =1
                       ∞                                      ∞
         № 103.       ∑e      nx
                                                     № 107.   ∑ n ln x
                      n =1                                    n =1
                       ∞      n                                ∞     1
         № 104.       ∑       nx
                                                     № 108.   ∑       n
                      n =12                                   n =1х

         В № 111 - 120 исследовать функциональные ряды на равномерную сходи-
         мость на указанных интервалах:



                                                                     27

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы