Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

26
мый признак сходимости (общий член к нулю не стремится:
e
n
1
1limalim
n
n
n
n
=
+=
∞→∞→
.
Итак, ряд сходится при х
+∞
∈
,
0
(
).
Пример 4. Определить область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
1
n
xln
.
Решение
Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
q=lnx. Поэтому ряд сходится, если
|lnx|<1,
-1<lnx<1,
ex
е
1
<<
.
Таким образом, область сходимости данного ряда ( e,
е
1
).
Пример 5. Определить область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
1
n
n
x
Cos
.
Решение
Возьмем произвольное значение х=х
0
. При этом значении получим чи-
словой ряд
...
n
x
Cos...
2
x
CosCosx
00
0
++++
(*)
Найдем предел его общего члена:
010Cos
n
x
Coslimalim
0
n
n
n
≠===
∞→∞→
.
Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е.
при любом, значении х. Область его сходимости – пустое множество.
Пример 6. Исследовать на равномерную сходимость ряд
∑
∞
=
2
n
nx
Cos
.
Решение
Воспользуемся признаком Вейерштрасса.
Неравенство
222
n
1
n
Cosnx
n
Cosnx
≤=
выполняется для всех n=1, 2, … и для
всех х
)
,
(
+∞
−∞
∈
. Числовой ряд
∑
∞
=1n
2
n
1
сходится. В силу признака Вейер-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         мый     признак      сходимости    (общий       член    к   нулю       не     стремится:
                                  n
                         1
          lim a n = lim 1 +  = e .
         n →∞       n →∞   n
               Итак, ряд сходится при х∈ (0,+∞ ).
                Пример 4. Определить область сходимости функционального ряда
                 ∞
                ∑ ln n x .
                n =1


                                         Решение
             Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
         q=lnx. Поэтому ряд сходится, если
                                            |lnx|<1,
                                           -1

Страницы