Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

24
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1),
можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х фикси-
рованным.
Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно схо-
дящимся в некотором промежутке, если каково бы ни было ε>0, можно
найти такое N, не зависящее от х, что при n>N для всех х из данного про-
межутка выполняется неравенство | R
n
(x) |< ε, где R
n
(x) – остаток ряда.
Теорема. Признак Вейерштрасса.
Функциональный ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в некото-
ром промежутке, если существует сходящийся числовой ряд с положи-
тельными членами
∑
∞
=
1
n
n
a
= a
1
+a
2
+…+a
n
+… (2)
такой, что
|a
n
(x)|≤a
n
(n=1, 2, …)
для всех х из данного промежутка. Ряд (2) в этом случае называется
мажорантным для ряда (2).
Пример 1. Определить область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
+
1n
n
)2x(n
1
.
Решение
Используем признак Даламбера.
a
n
=
n
)2x(n
1
+
, a
n+1
=
1n
)2x)(1n(
1
+
++
и
2x
1
2xn
n
lim
a
a
lim
n
n
1n
n
+
=
+
=
∞→
+
∞→
.
;1
2x
1
<
+
|x+2|>1;
x+2< -1, x+2>1;
-
∞
<x< -3, -1<x<+
∞
.
Границы двух найденных интервалов исследуем особо.
При х= -3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом
nnn
)1(n
1
)23(n
1
)2x(n
1
−
=
+−
=
+
, который сходится согласно признаку Лейб-
ница.
При х= -1 получим гармонический расходящийся ряд.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1),
         можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х фикси-
         рованным.
             Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно схо-
         дящимся в некотором промежутке, если каково бы ни было ε>0, можно
         найти такое N, не зависящее от х, что при n>N для всех х из данного про-
         межутка выполняется неравенство | Rn(x) |< ε, где Rn(x) – остаток ряда.
             Теорема. Признак Вейерштрасса.
             Функциональный ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в некото-
         ром промежутке, если существует сходящийся числовой ряд с положи-
         тельными членами
                                 ∞
                                ∑ a n = a1+a2+…+an+…                                      (2)
                                n =1
         такой, что
                                               |an(x)|≤an (n=1, 2, …)

            для всех х из данного промежутка. Ряд (2) в этом случае называется
         мажорантным для ряда (2).


                Пример 1. Определить область сходимости функционального ряда
                 ∞        1
                ∑                .
                n =1n ( x + 2)
                               n


                                       Решение
              Используем признак Даламбера.
                             a=     1   ,a =                             1                и
                                     n                     n+1
                                                                                   n +1
                                          n ( x + 2)   n
                                                                 (n + 1)( x + 2)
                                            a n +1           n       1 .
                                         lim       = lim          =
                                         n→∞ a n     n →∞ n x + 2   x+2
                                                    1
                                                       < 1; |x+2|>1;
                                                   x+2
                                                  x+2< -1, x+2>1;
                                              - ∞

Страницы