Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

25
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бес-
конечных интервалов (-
∞
; -3] и ( -1; +
∞
).
Пример 2. Определить область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
1
n
3
n
xSinn
.
Решение
Используем признак Даламбера.
a
n
=
3
n
xSinn
, a
n+1
=
3
1n
xSin)1n(
+
+
и
d=
33
n
n
1n
n
SinxSinx
n
1n
lim
a
a
lim =
+
=
∞→
+
∞→
≤1,
Следовательно, исходный ряд будет сходящимся, согласно признаку
Даламбера, для всех значений х, кроме
,...2,1,0k,k
2
x
k
±±=π+
π
=
, при
которых d=1.
При х=
k
x и при четном k получим ряд 1+2+3+…+n+…, а при нечет-
ном k – ряд -1+2-3+…+(-1)
n
n+…, которые оба расходятся вследствие не-
выполнения необходимого признака сходимости.
Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся числовая
ось, исключая точки
k
x .
Пример 3. Определить область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
⋅
+
1n
nx
n
2
n
1
1
.
Решение
Применим к данному ряду признак Коши, для чего найдем предел:
n
n
n
alim
∞→
=q.
Так как a
n
=
nx
n
2
n
1
1 ⋅
+
, то
xx
n
n
nx
n
n
n
n
n
22
n
1
1lim2
n
1
1limalim =⋅
+=⋅
+=
∞→∞→∞→
.
Найдем те значения х, при которых этот предел меньше 1, для чего
решим неравенство 2
х
<1, которое выполняется при х<0. Случай, когда
2
х
=1, т. е. х=0, исследуем особо. При х=0 данный ряд принимает вид
∑
∞
=
+
1
n
n
n
1
1
. Этот ряд расходится, так как для него не выполнен необходи-
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бес-
         конечных интервалов (- ∞ ; -3] и ( -1; + ∞ ).
              Пример 2. Определить область сходимости функционального ряда
                 ∞
                 ∑n
                         3
                             Sin n x .
                 n =1

                                       Решение
              Используем признак Даламбера.
                                   an= n 3 Sin n x , an+1= (n + 1)3 Sin n +1x и
                               d= lim a n +1 = lim n + 1 3 Sinx = 3 Sinx ≤1,
                                    n →∞ a n      n →∞ n
              Следовательно, исходный ряд будет сходящимся, согласно признаку
                                                                    π
         Даламбера, для всех значений х, кроме x k = + πk , k = 0,±1,±2,... , при
                                                                    2
         которых d=1.
              При х= x k и при четном k получим ряд 1+2+3+…+n+…, а при нечет-
         ном k – ряд -1+2-3+…+(-1)nn+…, которые оба расходятся вследствие не-
         выполнения необходимого признака сходимости.
              Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся числовая
         ось, исключая точки x k .
               Пример 3. Определить область сходимости функционального ряда
                 ∞         n
                     1
                ∑ 1 + n  ⋅ 2nx .
                n =1    

                                     Решение
             Применим к данному ряду признак Коши, для чего найдем предел:
          lim n a n =q.
          n →∞
                                         n
              Так как an= 1 + 1  ⋅ 2nx , то
                            n
                                                   n
                                        1                1
                        lim a n = lim 1 +  ⋅ 2nx = lim 1 +  ⋅ 2 x = 2 x .
                                     n       n
                       n →∞       n →∞   n         n → ∞  n
             Найдем те значения х, при которых этот предел меньше 1, для чего
         решим неравенство 2х<1, которое выполняется при х<0. Случай, когда
         2х=1, т. е. х=0, исследуем особо. При х=0 данный ряд принимает вид
          ∞          n
              1
         ∑ 1 + n  . Этот ряд расходится, так как для него не выполнен необходи-
         n =1    



                                                  25

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы